Verifique por substituição que a solução geral de onda estacionária,
Satisfaz à equação de Schrödinger independente do tempo, para o poço de potencial quadrado finito na região dentro do poço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a função de onda
realmente resolve a equação de Schrödinger independente do tempo para um poço de potencial quadrado finito na região
. Para isso, precisamos entender um pouquinho de mecânica quântica, derivadas e substituir na equação de Schrödinger para ver se tudo se encaixa direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para essa situação:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a energia, e
é a função de onda que queremos verificar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. Nossa função de onda é:
A primeira derivada será:
E a segunda derivada será:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos substituir a segunda derivada de
na equação de Schrödinger:
Multiplicando os sinais:
Passo 5
Para essa igualdade ser verdadeira para todo o
, os coeficientes devem ser iguais. Portanto:
Isso significa que a escolha de
está consistente e garante que a função de onda
satisfaz a equação de Schrödinger na região interna do poço.
Resposta
Sim, substituindo
na equação de Schrödinger independente do tempo, a igualdade é satisfeita, confirmando que a função de onda dada é uma solução válida para o poço de potencial quadrado finito na região
.