Verifique por substituição que a solução geral de onda estacionária,
psi(x)=A^prime sen k1 x+B^prime cos k1 x onde kI=raiz2 m Eh -a / 2
Satisfaz à equação de Schrödinger independente do tempo, para o poço de potencial quadrado finito na região dentro do poço.
-hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2=E psi(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a função de onda psi(x) = A^prime sin(kI x) + B^prime cos(kI x) realmente resolve a equação de Schrödinger independente do tempo para um poço de potencial quadrado finito na região -a/2 < x < +a/2. Para isso, precisamos entender um pouquinho de mecânica quântica, derivadas e substituir na equação de Schrödinger para ver se tudo se encaixa direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para essa situação:
-hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2 = E psi(x)
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, E é a energia, e psi(x) é a função de onda que queremos verificar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de psi(x) em relação a x. Nossa função de onda é:
psi(x) = A^prime sin(kI x) + B^prime cos(kI x)
A primeira derivada será:
d psi(x)d x = A^prime kI cos(kI x) - B^prime kI sin(kI x)
E a segunda derivada será:
d^2 psi(x)d x^2 = -A^prime kI^2 sin(kI x) - B^prime kI^2 cos(kI x)
Simplificando:
d^2 psi(x)d x^2 = -kI^2 ( A^prime sin(kI x) + B^prime cos(kI x) ) = -kI^2 psi(x)

Passo 4

Agora, vamos substituir a segunda derivada de psi(x) na equação de Schrödinger:
-hbar^22 m ( -kI^2 psi(x) ) = E psi(x)
Multiplicando os sinais:
hbar^2 kI^22 m psi(x) = E psi(x)

Passo 5

Para essa igualdade ser verdadeira para todo o x, os coeficientes devem ser iguais. Portanto:
hbar^2 kI^22 m = E
Isso significa que a escolha de kI = raiz2 m Ehbar está consistente e garante que a função de onda psi(x) satisfaz a equação de Schrödinger na região interna do poço.

Resposta

Sim, substituindo psi(x) na equação de Schrödinger independente do tempo, a igualdade é satisfeita, confirmando que a função de onda dada é uma solução válida para o poço de potencial quadrado finito na região -a/2 < x < +a/2.

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