Vamos resolver o problema de provar que os vetores são linearmente independentes (LI) se e somente se os vetores também forem LI. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores, além de propriedades de combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, lembramos que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, para serem LI, a equação deve ter apenas a solução .
Passo 3
Vamos supor que sejam LI. Precisamos provar que também são LI. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Vamos expandir e agrupar os termos:
Passo 4
Como são LI, os coeficientes de cada vetor na combinação acima devem ser iguais a zero:
Da terceira equação, . Substituindo na primeira equação, temos . E, substituindo e na segunda equação, obtemos , ou seja, .
Passo 5
Como a única solução para é , concluímos que os vetores são linearmente independentes.