Prove que é LI é LI.

Passo 1

Vamos resolver o problema de provar que os vetores são linearmente independentes (LI) se e somente se os vetores também forem LI. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores, além de propriedades de combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, para serem LI, a equação deve ter apenas a solução .

Passo 3

Vamos supor que sejam LI. Precisamos provar que também são LI. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Vamos expandir e agrupar os termos:

Passo 4

Como são LI, os coeficientes de cada vetor na combinação acima devem ser iguais a zero:
Da terceira equação, . Substituindo na primeira equação, temos . E, substituindo e na segunda equação, obtemos , ou seja, .

Passo 5

Como a única solução para é , concluímos que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, é LI se e somente se também for LI.

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Prove que é LD, quaisquer que sejam .
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(b) Se , então .