Prove que (u, v, w) é LI Leftrightarrow(u+v+w, u-v, 3 v) é LI.

Passo 1

Vamos resolver o problema de provar que os vetores são linearmente independentes (LI) se e somente se os vetores também forem LI. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores, além de propriedades de combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, para serem LI, a equação deve ter apenas a solução .

Passo 3

Vamos supor que alpha (u+v+w) + beta (u-v) + gamma (3v) = 0 sejam LI. Precisamos provar que alphau + alphav + alphaw + betau - betav + 3gammav = 0 também são LI. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
(alpha + beta)u + (alpha - beta + 3gamma)v + alphaw = 0
Vamos expandir e agrupar os termos:

Passo 4

Como alpha + beta = 0 alpha - beta + 3gamma = 0 alpha = 0 são LI, os coeficientes de cada vetor na combinação acima devem ser iguais a zero:
Da terceira equação, . Substituindo na primeira equação, temos . E, substituindo e na segunda equação, obtemos , ou seja, .

Passo 5

Como a única solução para é , concluímos que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, é LI se e somente se também for LI.

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