A sequência ( ) é LD. Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações (justifique sua resposta):
(a) Necessariamente, um dos vetores é nulo.
(b) Se , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! No enunciado, a gente tem uma sequência de vetores , e que são linearmente dependentes (LD). Nosso trampo é verificar se duas afirmações sobre esses vetores são verdadeiras ou falsas. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre dependência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e usar isso para analisar cada afirmação.

Passo 2

Vamos começar com a primeira afirmação:
(a) Necessariamente, um dos vetores é nulo.
Primeiro, o que é ser linearmente dependente? Uma sequência de vetores é LD se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Isso não quer dizer que algum vetor precisa ser zero. Por exemplo, considere os vetores , e . Nenhum deles é o vetor nulo, mas eles são LD porque cada um é múltiplo dos outros.
Então, a afirmação de que “necessariamente, um dos vetores é nulo” é falsa.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda afirmação:
(b) Se , então é paralela a .
Sabemos que a sequência é LD e que não é o vetor nulo. Isso significa que pelo menos um dos vetores ou pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se e forem múltiplos um do outro, então eles são paralelos. Contudo, a dependência linear pode ocorrer de outras formas também, como , onde e são escalares.
Porém, para garantir que é paralela a , precisaríamos que seja de fato um múltiplo direto de , ou seja, para algum escalar . A condição não assegura isso automaticamente, já que pode depender de de outra maneira.
Portanto, a afirmação de que "se não é nulo, então é paralela a " é falsa.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.

Exercícios relacionados

Usando a Teoria do Orbital Molecular (TOM), explique por que as seguintes moléculas: , e , não existem na natureza.
Prove que é LI é LI.
Sabemos que a diferença de eletronegatividade entre dois átomos é uma medida da polaridade de ligação. Diferença próxima a zero resulta em ligações covalentes apolares. Diferença próxima a dois resulta em ligações covalentes polares. Diferença próxima a três resulta em ligações iônicas. Usando este resultado, determine o tipo de ligação nas seguintes moléculas: a) b) c) d) . Dados de eletronegatividade:
Considere base de . Determinar as coordenadas do vetor em relação a se:
.