A sequência ( u, v, w ) é LD. Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações (justifique sua resposta):
(a) Necessariamente, um dos vetores é nulo.
(b) Se u neq 0, então v / / w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! No enunciado, a gente tem uma sequência de vetores u, v e w que são linearmente dependentes (LD). Nosso trampo é verificar se duas afirmações sobre esses vetores são verdadeiras ou falsas. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre dependência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e usar isso para analisar cada afirmação.

Passo 2

Vamos começar com a primeira afirmação:
(a) Necessariamente, um dos vetores é nulo.
Primeiro, o que é ser linearmente dependente? Uma sequência de vetores é LD se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Isso não quer dizer que algum vetor precisa ser zero. Por exemplo, considere os vetores u = (1, 0), v = (2, 0) e w = (3, 0). Nenhum deles é o vetor nulo, mas eles são LD porque cada um é múltiplo dos outros.
Então, a afirmação de que “necessariamente, um dos vetores é nulo” é falsa.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda afirmação:
(b) Se u neq 0, então v é paralela a w.
Sabemos que a sequência é LD e que u não é o vetor nulo. Isso significa que pelo menos um dos vetores v ou w pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se v e w forem múltiplos um do outro, então eles são paralelos. Contudo, a dependência linear pode ocorrer de outras formas também, como v = au + bw, onde a e b são escalares.
Porém, para garantir que v é paralela a w, precisaríamos que v seja de fato um múltiplo direto de w, ou seja, v = kw para algum escalar k. A condição u neq 0 não assegura isso automaticamente, já que v pode depender de u de outra maneira.
Portanto, a afirmação de que "se u não é nulo, então v é paralela a w" é falsa.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.

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