A sequência (
) é LD. Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações (justifique sua resposta):
(a) Necessariamente, um dos vetores é nulo.
(b) Se
, então
.
(a) Necessariamente, um dos vetores é nulo.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! No enunciado, a gente tem uma sequência de vetores
,
e
que são linearmente dependentes (LD). Nosso trampo é verificar se duas afirmações sobre esses vetores são verdadeiras ou falsas. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre dependência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e usar isso para analisar cada afirmação.
Passo 2
Vamos começar com a primeira afirmação:
(a) Necessariamente, um dos vetores é nulo.
Primeiro, o que é ser linearmente dependente? Uma sequência de vetores é LD se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Isso não quer dizer que algum vetor precisa ser zero. Por exemplo, considere os vetores
,
e
. Nenhum deles é o vetor nulo, mas eles são LD porque cada um é múltiplo dos outros.
Então, a afirmação de que “necessariamente, um dos vetores é nulo” é falsa.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda afirmação:
(b) Se
, então
é paralela a
.
Sabemos que a sequência é LD e que
não é o vetor nulo. Isso significa que pelo menos um dos vetores
ou
pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se
e
forem múltiplos um do outro, então eles são paralelos. Contudo, a dependência linear pode ocorrer de outras formas também, como
, onde
e
são escalares.
Porém, para garantir que
é paralela a
, precisaríamos que
seja de fato um múltiplo direto de
, ou seja,
para algum escalar
. A condição
não assegura isso automaticamente, já que
pode depender de
de outra maneira.
Portanto, a afirmação de que "se
não é nulo, então
é paralela a
" é falsa.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
(b) Falsa.