Quantas arestas, vértices e faces tem o dodecaedro regular?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é: Quantas arestas, vértices e faces tem o dodecaedro regular? A matéria envolvida aqui é a Geometria Espacial, mais especificamente o estudo dos sólidos platônicos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender as características de um dodecaedro e usar algumas fórmulas básicas da geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um dodecaedro regular. Ele é um dos cinco sólidos platônicos, que são corpos geométricos com faces iguais e angulares iguais. No caso do dodecaedro, cada face é um pentágono regular, ou seja, um polígono de cinco lados iguais.

Passo 3

Agora, vamos identificar as suas partes:
  • Faces (F): São os pentágonos que compõem o sólido. Como o nome “dodecaedro” sugere (do grego “dodeca” que significa doze), ele tem 12 faces.
  • Arestas (E): São as linhas onde duas faces se encontram. Para encontrar o número de arestas, a gente pode usar uma fórmula conhecida como Fórmula de Euler.
  • Vértices (V): São os pontos onde três arestas se encontram. Precisamos descobrir quantos vértices o dodecaedro tem.

Passo 4

Vamos utilizar a Fórmula de Euler para Poliedros, que é uma relação muito útil na geometria dos sólidos. Ela é dada por:
V - E + F = 2
Onde:
  • $ V $ é o número de vértices,
  • $ E $ é o número de arestas,
  • $ F $ é o número de faces.

Passo 5

Sabemos que o dodecaedro tem 12 faces ($ F = 12 F = 12 ã E E é V $) ele possui. Para descobrir isso, precisamos de mais uma informação.
Sabemos que cada face é um pentágono, que tem 5 arestas. Mas, cada aresta é compartilhada por duas faces. Então, o total de arestas pode ser calculado multiplicando o número de faces pelas arestas de cada face e dividindo por 2:
V
E = F times arestas por face2
E = 12 times 52
E = 602
Então, o dodecaedro tem 30 arestas.

Passo 6

Agora, vamos usar a Fórmula de Euler para encontrar o número de vértices ($ V $).
Sabemos que:
V
V - E + F = 2
V - 30 + 12 = 2
V - 18 = 2
V = 2 + 18
Então, o dodecaedro tem 20 vértices.

Resposta

O dodecaedro regular tem 12 faces, 30 arestas e 20 vértices.

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