Quantas arestas, vértices e faces tem o dodecaedro regular?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é: Quantas arestas, vértices e faces tem o dodecaedro regular? A matéria envolvida aqui é a Geometria Espacial, mais especificamente o estudo dos sólidos platônicos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender as características de um dodecaedro e usar algumas fórmulas básicas da geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um dodecaedro regular. Ele é um dos cinco sólidos platônicos, que são corpos geométricos com faces iguais e angulares iguais. No caso do dodecaedro, cada face é um pentágono regular, ou seja, um polígono de cinco lados iguais.
Passo 3
Agora, vamos identificar as suas partes:
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Faces (F): São os pentágonos que compõem o sólido. Como o nome “dodecaedro” sugere (do grego “dodeca” que significa doze), ele tem 12 faces.
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Arestas (E): São as linhas onde duas faces se encontram. Para encontrar o número de arestas, a gente pode usar uma fórmula conhecida como Fórmula de Euler.
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Vértices (V): São os pontos onde três arestas se encontram. Precisamos descobrir quantos vértices o dodecaedro tem.
Passo 4
Vamos utilizar a Fórmula de Euler para Poliedros, que é uma relação muito útil na geometria dos sólidos. Ela é dada por:
Onde:
- $ V $ é o número de vértices,
- $ E $ é o número de arestas,
- $ F $ é o número de faces.
Passo 5
Sabemos que o dodecaedro tem 12 faces ($ F = 12
E
V $) ele possui. Para descobrir isso, precisamos de mais uma informação.
Sabemos que cada face é um pentágono, que tem 5 arestas. Mas, cada aresta é compartilhada por duas faces. Então, o total de arestas pode ser calculado multiplicando o número de faces pelas arestas de cada face e dividindo por 2:
Então, o dodecaedro tem 30 arestas.
Passo 6
Agora, vamos usar a Fórmula de Euler para encontrar o número de vértices ($ V $).
Sabemos que:
Então, o dodecaedro tem 20 vértices.
Resposta
O dodecaedro regular tem 12 faces, 30 arestas e 20 vértices.