De quantos modos podemos dividir 12 pessoas:
e) em dois grupos de 4 e dois grupos de 2?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de combinatória! A pergunta é: de quantos modos podemos dividir 12 pessoas em dois grupos de 4 e dois grupos de 2. Para isso, vamos usar conceitos de combinação, que é parte da teoria de contagem. Precisamos calcular quantas maneiras diferentes podemos formar esses grupos considerando que a ordem dos grupos não importa.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os dois grupos de 4 pessoas. Para isso, usamos a combinação, que é representada por $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $. Aqui, $ n $ é o total de pessoas e $ k $ é o número de pessoas no grupo.

Passo 3

Vamos escolher o primeiro grupo de 4 pessoas entre as 12 disponíveis:
C(12, 4) = 12!4!(12-4)! = 12!4! cdot 8!

Passo 4

Depois de escolher o primeiro grupo de 4, restam 8 pessoas. Agora, escolhemos o segundo grupo de 4 dentre essas 8:
C(8, 4) = 8!4!(8-4)! = 8!4! cdot 4!

Passo 5

Agora, das 12 pessoas, já formamos os dois grupos de 4, restando 4 pessoas. Vamos dividir essas 4 pessoas em dois grupos de 2. Primeiro, escolhemos o primeiro grupo de 2:
C(4, 2) = 4!2!(4-2)! = 4!2! cdot 2!

Passo 6

Após escolher o primeiro grupo de 2, restam 2 pessoas que formam automaticamente o segundo grupo de 2. Como os grupos são indistinguíveis, precisamos dividir pelo número de maneiras de organizar esses grupos para evitar contar repetições.

Passo 7

Multiplicamos todas as combinações e dividimos pelo número de rearranjos possíveis dos grupos iguais:
Total = C(12, 4) cdot C(8, 4) cdot C(4, 2)2! cdot 2!

Resposta

Calculando os valores:
C(12, 4) = 495
C(8, 4) = 70
C(4, 2) = 6
Então:
Total = 495 cdot 70 cdot 62 cdot 2 = 2079004 = 51975
Portanto, existem 51.975 modos de dividir as 12 pessoas em dois grupos de 4 e dois grupos de 2.

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