De quantos modos podemos dividir 12 pessoas:
e) em dois grupos de 4 e dois grupos de 2?
e) em dois grupos de 4 e dois grupos de 2?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de combinatória! A pergunta é: de quantos modos podemos dividir 12 pessoas em dois grupos de 4 e dois grupos de 2. Para isso, vamos usar conceitos de combinação, que é parte da teoria de contagem. Precisamos calcular quantas maneiras diferentes podemos formar esses grupos considerando que a ordem dos grupos não importa.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher os dois grupos de 4 pessoas. Para isso, usamos a combinação, que é representada por $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $. Aqui, $ n $ é o total de pessoas e $ k $ é o número de pessoas no grupo.
Passo 3
Vamos escolher o primeiro grupo de 4 pessoas entre as 12 disponíveis:
Passo 4
Depois de escolher o primeiro grupo de 4, restam 8 pessoas. Agora, escolhemos o segundo grupo de 4 dentre essas 8:
Passo 5
Agora, das 12 pessoas, já formamos os dois grupos de 4, restando 4 pessoas. Vamos dividir essas 4 pessoas em dois grupos de 2. Primeiro, escolhemos o primeiro grupo de 2:
Passo 6
Após escolher o primeiro grupo de 2, restam 2 pessoas que formam automaticamente o segundo grupo de 2. Como os grupos são indistinguíveis, precisamos dividir pelo número de maneiras de organizar esses grupos para evitar contar repetições.
Passo 7
Multiplicamos todas as combinações e dividimos pelo número de rearranjos possíveis dos grupos iguais:
Resposta
Calculando os valores:
Então:
Portanto, existem 51.975 modos de dividir as 12 pessoas em dois grupos de 4 e dois grupos de 2.