Quantos números relativamente primos entre 1 e 100 tem o número 6?
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício que pergunta quantos números entre 1 e 100 são relativamente primos com o número 6. Relativamente primos significa que esses números não têm nenhum divisor comum além de 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre Números Relativamente Primos e usar um conceito matemático chamado Função Totiente de Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos ver quais são os divisores de 6. O número 6 pode ser dividido por 1, 2, 3 e 6. Mas, para dois números serem relativamente primos, eles não podem compartilhar nenhum divisor além do 1. Então, precisamos encontrar números entre 1 e 100 que não sejam divisíveis por 2 ou 3.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da Função Totiente de Euler, que nos ajuda a contar quantos números são relativamente primos a um dado número. A função é dada por:
Onde $ p_1, p_2, \dots, p_k $ são os fatores primos de $ n $.
Passo 4
No nosso caso, $ n = 6 $. Os fatores primos de 6 são 2 e 3. Então, aplicando na fórmula:
Isso significa que, em cada grupo de 6 números, 2 são relativamente primos com 6.
Passo 5
Como queremos saber entre 1 e 100, vamos ver quantos grupos de 6 existem nesse intervalo. Dividindo 100 por 6, temos:
Isso significa que temos 16 grupos completos de 6 números e mais alguns números sobrando.
Passo 6
Para cada um desses 16 grupos, sabemos que 2 números são relativamente primos com 6. Então, multiplicamos:
Agora, precisamos verificar os números que sobraram. 16 grupos de 6 somam 96 números, então restam 4 números: 97, 98, 99, 100.
Passo 7
Vamos verificar quais desses 4 números são relativamente primos com 6:
- 97: Não é divisível por 2 ou 3 → Relativamente primo
- 98: Divisível por 2 → Não é relativamente primo
- 99: Divisível por 3 → Não é relativamente primo
- 100: Divisível por 2 → Não é relativamente primo
Apenas 97 é relativamente primo com 6.
Resposta
Portanto, o total de números entre 1 e 100 que são relativamente primos com o número 6 é 33.