Quantos números relativamente primos entre 1 e 100 tem o número 6?

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício que pergunta quantos números entre 1 e 100 são relativamente primos com o número 6. Relativamente primos significa que esses números não têm nenhum divisor comum além de 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre Números Relativamente Primos e usar um conceito matemático chamado Função Totiente de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos ver quais são os divisores de 6. O número 6 pode ser dividido por 1, 2, 3 e 6. Mas, para dois números serem relativamente primos, eles não podem compartilhar nenhum divisor além do 1. Então, precisamos encontrar números entre 1 e 100 que não sejam divisíveis por 2 ou 3.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da Função Totiente de Euler, que nos ajuda a contar quantos números são relativamente primos a um dado número. A função é dada por:
phi(n) = n (1 - 1p1)(1 - 1p2) dots (1 - 1pk)
Onde $ p_1, p_2, \dots, p_k $ são os fatores primos de $ n $.

Passo 4

No nosso caso, $ n = 6 $. Os fatores primos de 6 são 2 e 3. Então, aplicando na fórmula:
n = 6
Isso significa que, em cada grupo de 6 números, 2 são relativamente primos com 6.

Passo 5

Como queremos saber entre 1 e 100, vamos ver quantos grupos de 6 existem nesse intervalo. Dividindo 100 por 6, temos:
1006 approx 16,66
Isso significa que temos 16 grupos completos de 6 números e mais alguns números sobrando.

Passo 6

Para cada um desses 16 grupos, sabemos que 2 números são relativamente primos com 6. Então, multiplicamos:
16 times 2 = 32
Agora, precisamos verificar os números que sobraram. 16 grupos de 6 somam 96 números, então restam 4 números: 97, 98, 99, 100.

Passo 7

Vamos verificar quais desses 4 números são relativamente primos com 6:
  • 97: Não é divisível por 2 ou 3 → Relativamente primo
  • 98: Divisível por 2 → Não é relativamente primo
  • 99: Divisível por 3 → Não é relativamente primo
  • 100: Divisível por 2 → Não é relativamente primo
Apenas 97 é relativamente primo com 6.

Resposta

Portanto, o total de números entre 1 e 100 que são relativamente primos com o número 6 é 33.

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