Questão 5 - Em uma fábrica as máquinas estragam a um ritmo de 4 falhas por semana, segundo a distribuição de Poisson. Quando uma máquina falha, é enviada uma solicitação de conserto ao departamento responsável pela manutenção. Calcule a probabilidade de, em uma dada semana, chegarem as seguintes quantidades de solicitação de conserto:
e) 12 falhas.

Passo 1

Beleza, bora lá! O enunciado fala sobre uma fábrica onde as máquinas quebram a uma taxa de 4 falhas por semana, e isso segue a distribuição de Poisson. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de, em uma semana específica, recebermos exatamente 12 solicitações de conserto. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson, que é ótima para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecendo em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição de Poisson. A probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos é dada por:
k
Aqui, $ \lambda $ é a taxa média de ocorrências (no nosso caso, 4 falhas por semana), $ k $ é o número de eventos que queremos calcular a probabilidade (12 falhas), e $ e $ é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula. Temos $ \lambda = 4 $ e $ k = 12 $:
lambda = 4
Agora, vamos calcular cada parte dessa expressão passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculamos $ e^{-4} $:
e^-4
Em seguida, calculamos $ 4^{12} $:
e^-4 approx 0,0183
Depois, calculamos $ 12! $ (12 fatorial):
4^12

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na expressão:
P(X = 12) = 0,0183 times 16.777.216479.001.600
Fazendo as contas:
0,0183 times 16.777.216 approx 307.276
E então dividimos por 479.001.600:
P(X = 12) approx 307.276479.001.600 approx 0,00064

Resposta

A probabilidade de receber exatamente 12 solicitações de conserto em uma semana é aproximadamente 0,064%.

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