Questão 5 - Em uma fábrica as máquinas estragam a um ritmo de 4 falhas por semana, segundo a distribuição de Poisson. Quando uma máquina falha, é enviada uma solicitação de conserto ao departamento responsável pela manutenção. Calcule a probabilidade de, em uma dada semana, chegarem as seguintes quantidades de solicitação de conserto:
e) 12 falhas.
e) 12 falhas.
Passo 1
Beleza, bora lá! O enunciado fala sobre uma fábrica onde as máquinas quebram a uma taxa de 4 falhas por semana, e isso segue a distribuição de Poisson. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de, em uma semana específica, recebermos exatamente 12 solicitações de conserto. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson, que é ótima para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecendo em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição de Poisson. A probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos é dada por:
Aqui, $ \lambda $ é a taxa média de ocorrências (no nosso caso, 4 falhas por semana), $ k $ é o número de eventos que queremos calcular a probabilidade (12 falhas), e $ e $ é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula. Temos $ \lambda = 4 $ e $ k = 12 $:
Agora, vamos calcular cada parte dessa expressão passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calculamos $ e^{-4} $:
Em seguida, calculamos $ 4^{12} $:
Depois, calculamos $ 12! $ (12 fatorial):
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na expressão:
Fazendo as contas:
E então dividimos por 479.001.600:
Resposta
A probabilidade de receber exatamente 12 solicitações de conserto em uma semana é aproximadamente 0,064%.