Questão 3 (1 ponto) Calcule as probabilidades das situações abaixo:
b Em uma urna com 10 bolas ( 4 brancas, 3 pretas e 3 vermelhas), duas bolas são retiradas ao acaso, uma após a outra, sem reposição. Seja A o evento a primeira bola retirada é brancae B o evento a segunda bola retirada é preta. Determine se A e B são independentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre probabilidades em uma urna com 10 bolas: 4 brancas, 3 pretas e 3 vermelhas. Precisamos calcular se os eventos A e B são independentes, onde:
  • A: a primeira bola retirada é branca.
  • B: a segunda bola retirada é preta.
    Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e independência de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade do evento A acontecer, ou seja, tirar uma bola branca na primeira retirada. Como há 4 bolas brancas e 10 bolas no total, a probabilidade é:
P(A) = 410 = 0,4

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade do evento B, que é tirar uma bola preta na segunda retirada. Aqui, precisamos considerar duas situações: se a primeira bola já foi tirada uma branca ou não.
Mas para determinar a independência, vamos usar diretamente a definição que diz que dois eventos são independentes se:
P(A cap B) = P(A) times P(B)

Passo 4

Vamos calcular P(B|A) = 39 = 13 , que é a probabilidade de tirar uma bola branca primeiro e uma preta depois. Primeiro, tiramos uma branca com probabilidade 0,4. Depois, como não reposição, restam 9 bolas, sendo 3 pretas. Então:
P(A cap B) = P(A) times P(B|A) = 0,4 times 13 = 430 = 215 approx 0,1333

Passo 5

Agora, vamos calcular P(B) = 310 times 49 + 710 times 39 = 1290 + 2190 = 3390 = 1130 approx 0,3667 , que é a probabilidade de tirar uma preta na segunda retirada, independentemente do que foi retirado primeiro. Isso pode ser calculado considerando todas as possibilidades:

Passo 6

Vamos verificar a condição de independência:
P(A) times P(B) = 0,4 times 0,3667 approx 0,1467
Comparando com 0,1333 neq 0,1467 , vemos que:
Portanto, os eventos A e B não são independentes.

Resposta

Os eventos A (tirar uma bola branca primeiro) e B (tirar uma bola preta na segunda retirada) não são independentes.

Exercícios relacionados