Questão 6) (Valor: 2,5 ponto) Considere o seguinte problema: uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço quadrado de papelão, com 20 metros de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. Encontre o maior volume que essa caixa poderá ter.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para construir uma caixa sem tampa usando um pedaço quadrado de papelão de 20 metros de largura. Para isso, vamos cortar quadradinhos iguais de cada canto e dobrar as laterais. Nosso objetivo é encontrar qual o maior volume que essa caixa pode ter. Vamos precisar usar um pouco de matemática para otimizar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis. Vamos chamar de o lado do quadrado que vamos cortar de cada canto. Como o papelão é quadrado, o lado inicial é de 20 metros. Quando cortamos os quadrados e dobramos as laterais, o comprimento e a largura da base da caixa vão diminuir em cada (já que cortamos de cada lado).

Passo 3

Agora, vamos expressar as dimensões da caixa em função de :
  • Comprimento da base:
  • Largura da base:
  • Altura da caixa:
Com isso, podemos escrever a função que representa o volume da caixa.

Passo 4

O volume da caixa é dado pelo produto do comprimento, da largura e da altura:
Simplificando, temos:

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, vamos derivar a função em relação a e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso nos dará os pontos críticos que podem corresponder ao volume máximo.
Primeiro, expandimos a função:
Agora, calculamos a derivada:

Passo 6

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos :
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 7

Agora, precisamos verificar qual dessas soluções nos dá o volume máximo. Se , então:
ã
Portanto, descartamos e ficamos com metros.

Passo 8

Finalmente, calculamos o volume máximo substituindo na função de volume:
ú

Resposta

O maior volume que a caixa poderá ter é de aproximadamente 593 metros cúbicos.

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