Questão 6) (Valor: 2,5 ponto) Considere o seguinte problema: uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço quadrado de papelão, com 20 metros de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. Encontre o maior volume que essa caixa poderá ter.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para construir uma caixa sem tampa usando um pedaço quadrado de papelão de 20 metros de largura. Para isso, vamos cortar quadradinhos iguais de cada canto e dobrar as laterais. Nosso objetivo é encontrar qual o maior volume que essa caixa pode ter. Vamos precisar usar um pouco de matemática para otimizar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas variáveis. Vamos chamar de
o lado do quadrado que vamos cortar de cada canto. Como o papelão é quadrado, o lado inicial é de 20 metros. Quando cortamos os quadrados e dobramos as laterais, o comprimento e a largura da base da caixa vão diminuir em
cada (já que cortamos
de cada lado).
Passo 3
Agora, vamos expressar as dimensões da caixa em função de
:
- Comprimento da base:
- Largura da base:
- Altura da caixa:
Com isso, podemos escrever a função que representa o volume da caixa.
Passo 4
O volume
da caixa é dado pelo produto do comprimento, da largura e da altura:
Simplificando, temos:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, vamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso nos dará os pontos críticos que podem corresponder ao volume máximo.
Primeiro, expandimos a função:
Agora, calculamos a derivada:
Passo 6
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Agora, precisamos verificar qual dessas soluções nos dá o volume máximo. Se
, então:
Portanto, descartamos
e ficamos com
metros.
Passo 8
Finalmente, calculamos o volume máximo substituindo
na função de volume:
Resposta
O maior volume que a caixa poderá ter é de aproximadamente 593 metros cúbicos.
Exercícios relacionados
Questão 1) (Valor: 1,0 ponto) Calcule as derivadas.
Questão 1) (Valor: 1,0 ponto) Calcule as derivadas.
Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a definç̧ão de integral:
Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a definç̧ão de integral: