Um químico deseja testar a dureza de certo material, composto de chumbo, usando o critério de ponto de fusão. Obtém 322^circ C, 328^circ C, 326^circ C e 320^circ C. Entretanto, o químico não possui o ponto de fusão do chumbo, mas, quando verifica esse índice, a distribuição é normal com variância 4 . O quimico estabelece, ao nível de 10 % de risco, o teste:
H0: mu=325 (metal puro)
H1: mu neq 325 (metal não puro)
O químico sabe que pode estar aceitando uma H0 falsa e por isso resolve elaborar os gráficos de P(mu1) e beta. Como serão eles?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estatística onde um químico quer testar a dureza de um material feito de chumbo, usando o ponto de fusão. Ele coletou algumas medidas de temperatura e quer saber se o material é puro ou não. Para isso, ele vai usar um teste de hipótese com um nível de risco de 10%. Precisamos entender como ele vai elaborar os gráficos de $ P(\mu_1) $ e $ \beta $. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos resumir os dados que o químico coletou:
  • Temperaturas medidas: $ 322^{\circ}C, 328^{\circ}C, 326^{\circ}C, 320^{\circ}C $
  • Número de amostras ($ n $): 4
  • Variância ($ \sigma^2 $): 4
  • Média hipotética ($ \mu_0 $): 325°C
  • Nível de significância ($ \alpha $): 10% ou 0,10
O teste de hipótese que ele está fazendo é:
322^circC, 328^circC, 326^circC, 320^circC
n ã

Passo 3

Agora, vamos calcular a média das temperaturas medidas para ver onde estamos:
barx = 322 + 328 + 326 + 3204 = 12964 = 324^circC
Então, a média amostral é 324°C.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média, que é a variância dividida pela raiz do número de amostras:
Erro Padrão = sigmaraizn = 2raiz4 = 22 = 1 ã
Aqui, usamos que $ \sigma^2 = 4 $, então $ \sigma = 2 $.

Passo 5

Em seguida, calculamos o valor do teste $ z $ usando a fórmula:
z ã

Passo 6

Vamos determinar os valores críticos para o teste de duas caudas com $ \alpha = 0,10 $. Como é um teste de duas caudas, dividimos $ \alpha $ por 2 para cada lado:
alpha = 0,10
Consultando a tabela $ z $, encontramos que os valores críticos são aproximadamente $ \pm 1,645 $.

Passo 7

Agora, comparamos o valor calculado de $ z = -1 $ com os valores críticos $ \pm 1,645 $:
  • Se $ z $ estiver entre $ -1,645 $ e $ 1,645 $, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Se estiver fora desse intervalo, rejeitamos $ H_0 $.
No nosso caso, $ -1 < -1,645 $ é falso e $ -1 < 1,645 $ é verdadeiro. Então, $ z = -1 $ está dentro da região de não rejeição.

Passo 8

Como o teste não rejeita $ H_0 $, o químico conclui que não há evidências suficientes para afirmar que o material não é puro, com um nível de risco de 10%.

Passo 9

Agora, vamos falar dos gráficos que o químico quer elaborar: $ P(\mu_1) $ e $ \beta $.
  • $ P(\mu_1) $: Representa a probabilidade de rejeitar $ H_0 $ quando a verdadeira média é $ \mu_1 $. Esse é conhecido como a função potência do teste. O gráfico mostra como a probabilidade de detectar uma diferença aumenta conforme a verdadeira média se afasta de $ \mu_0 $.
  • $ \beta $: É a probabilidade de não rejeitar $ H_0 $ quando a verdadeira média é $ \mu_1 $. Isso é chamado de erro do tipo II. O gráfico mostra como essa probabilidade diminui conforme a verdadeira média se afasta de $ \mu_0 $.

Passo 10

Para elaborar esses gráficos, o químico precisa variar o valor de $ \mu_1 $ e calcular $ P(\mu_1) $ e $ \beta $ para cada valor. Isso envolve calcular a área sob a curva normal que corresponde às regiões de rejeição e não rejeição para diferentes médias verdadeiras.

Resposta

Os gráficos de $ P(\mu_1) $ e $ \beta $ serão curvas que mostram, respectivamente, a probabilidade de rejeitar $ H_0 $ e a probabilidade de cometer um erro do tipo II para diferentes valores de $ \mu_1 $. A curva de $ P(\mu_1) $ aumentará conforme $ \mu_1 $ se afasta de 325°C, indicando maior chance de detectar que o metal não é puro. Já a curva de $ \beta $ diminuirá conforme $ \mu_1 $ se afasta de 325°C, mostrando menor probabilidade de não rejeitar $ H_0 $ quando o metal realmente não é puro.

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