Um químico deseja testar a dureza de certo material, composto de chumbo, usando o critério de ponto de fusão. Obtém e . Entretanto, o químico não possui o ponto de fusão do chumbo, mas, quando verifica esse índice, a distribuição é normal com variância 4 . O quimico estabelece, ao nível de de risco, o teste: (metal puro) (metal não puro)
Que resultado obtém o químico no teste?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de teste de hipóteses, mais especificamente para a média. O químico quer saber se o material que ele tem é puro ou não, usando o ponto de fusão como critério. Ele coletou quatro medidas de temperatura e quer comparar com um valor esperado de . A gente vai usar a distribuição normal e, como a variância é conhecida (igual a 4), vamos aplicar um teste Z. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média das temperaturas que o químico mediu. As temperaturas são: 322°C, 328°C, 326°C e 320°C.
Então, a média amostral é 324^circ C.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor do teste Z. A fórmula para o teste Z quando a variância é conhecida é:
Z = X - mu0sigma / raizn
Onde:
X é a média amostral (324^circ C)
mu0 é a média hipotética (325^circ C)
sigma é o desvio padrão (a raiz da variância, então raiz4 = 2)
n é o tamanho da amostra (4)
Substituindo os valores:
Z = 324 - 3252 / raiz4 = -11 = -1
Então, o valor do teste Z é -1.
Passo 4
Vamos determinar os valores críticos para o nível de significância de 10% em um teste bilateral. Como é bilateral, dividimos o nível de significância por 2 para cada cauda. Ou seja, 5% em cada extremidade.
Usando a tabela da distribuição normal, o valor crítico para 5% em cada cauda é aproximadamente -1,645 e 1,645.
Passo 5
Agora, comparamos o valor calculado de Z com os valores críticos:
Se Z < -1,645 ou Z > 1,645, rejeitamos a hipótese nula H0.
Caso contrário, não rejeitamos H0.
No nosso caso, Z = -1, que está entre -1,645 e 1,645. Portanto, não está na região de rejeição.
Resposta
O químico não rejeita a hipótese nula H0: mu=325. Não há evidências suficientes para concluir que o material não é puro.