Um químico deseja testar a dureza de certo material, composto de chumbo, usando o critério de ponto de fusão. Obtém 322^circ C, 328^circ C, 326^circ C e 320^circ C. Entretanto, o químico não possui o ponto de fusão do chumbo, mas, quando verifica esse índice, a distribuição é normal com variância 4 . O quimico estabelece, ao nível de 10 % de risco, o teste:
H0: mu=325 (metal puro)
H1: mu neq 325 (metal não puro)
Que resultado obtém o químico no teste?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de teste de hipóteses, mais especificamente para a média. O químico quer saber se o material que ele tem é puro ou não, usando o ponto de fusão como critério. Ele coletou quatro medidas de temperatura e quer comparar com um valor esperado de 325^circ C. A gente vai usar a distribuição normal e, como a variância é conhecida (igual a 4), vamos aplicar um teste Z. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das temperaturas que o químico mediu. As temperaturas são: 322°C, 328°C, 326°C e 320°C.
X = 322 + 328 + 326 + 3204 = 12964 = 324^circ C
Então, a média amostral é 324^circ C.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor do teste Z. A fórmula para o teste Z quando a variância é conhecida é:
Z = X - mu0sigma / raizn
Onde:
  • X é a média amostral ( 324^circ C)
  • mu0 é a média hipotética ( 325^circ C)
  • sigma é o desvio padrão (a raiz da variância, então raiz4 = 2)
  • n é o tamanho da amostra (4)
Substituindo os valores:
Z = 324 - 3252 / raiz4 = -11 = -1
Então, o valor do teste Z é -1.

Passo 4

Vamos determinar os valores críticos para o nível de significância de 10% em um teste bilateral. Como é bilateral, dividimos o nível de significância por 2 para cada cauda. Ou seja, 5% em cada extremidade.
Usando a tabela da distribuição normal, o valor crítico para 5% em cada cauda é aproximadamente -1,645 e 1,645.

Passo 5

Agora, comparamos o valor calculado de Z com os valores críticos:
  • Se Z < -1,645 ou Z > 1,645, rejeitamos a hipótese nula H0.
  • Caso contrário, não rejeitamos H0.
No nosso caso, Z = -1, que está entre -1,645 e 1,645. Portanto, não está na região de rejeição.

Resposta

O químico não rejeita a hipótese nula H0: mu=325. Não há evidências suficientes para concluir que o material não é puro.

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