Afirma-se que
das pessoas têm 2 resfriados por ano. Decidimos rejeitar essa afirmação se, entre 400 pessoas, 216 ou mais tiverem 2 resfriados por ano. Qual a probabilidade de cometer um erro de tipo I?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala que 50% das pessoas têm 2 resfriados por ano. A gente vai analisar uma amostra de 400 pessoas e decidir se esse percentual é realmente verdade. Se 216 ou mais pessoas tiverem 2 resfriados, a gente vai rejeitar essa afirmação. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de cometer um erro de tipo I, que é basicamente rejeitar uma afirmação que na verdade é verdadeira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, como distribuição binomial e distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um erro de tipo I. Em estatística, quando fazemos um teste de hipótese, temos duas hipóteses: a nula (H₀) e a alternativa (H₁). Um erro de tipo I ocorre quando a gente rejeita a hipótese nula, mesmo ela sendo verdadeira. No nosso caso, a hipótese nula é que 50% das pessoas têm 2 resfriados por ano.
Passo 3
Agora, vamos modelar o número de pessoas com 2 resfriados na amostra de 400. Isso segue uma distribuição binomial, onde cada pessoa tem duas possibilidades: ter ou não ter 2 resfriados. A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ n = 400 $ (número de pessoas)
- $ p = 0.5 $ (probabilidade de ter 2 resfriados)
- $ k $ é o número de pessoas com 2 resfriados
Passo 4
Calcular diretamente a probabilidade binomial para $ k \geq 216 $ seria complicado, então vamos usar uma aproximação normal. Para grandes amostras, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal com média $ \mu $ e desvio padrão $ \sigma $, onde:
Passo 5
Agora, vamos padronizar o valor de 216 para achar o valor z na distribuição normal padrão. A fórmula para o z-score é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Com o valor z calculado, vamos encontrar a probabilidade correspondente usando a tabela da distribuição normal padrão. A probabilidade de $ Z \geq 1.6 $ é aproximadamente 0.0548, ou seja, 5.48%.
Resposta
A probabilidade de cometer um erro de tipo I é de aproximadamente 5,48%.