Afirma-se que 50 % das pessoas têm 2 resfriados por ano. Decidimos rejeitar essa afirmação se, entre 400 pessoas, 216 ou mais tiverem 2 resfriados por ano. Qual a probabilidade de cometer um erro de tipo I?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala que 50% das pessoas têm 2 resfriados por ano. A gente vai analisar uma amostra de 400 pessoas e decidir se esse percentual é realmente verdade. Se 216 ou mais pessoas tiverem 2 resfriados, a gente vai rejeitar essa afirmação. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de cometer um erro de tipo I, que é basicamente rejeitar uma afirmação que na verdade é verdadeira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, como distribuição binomial e distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um erro de tipo I. Em estatística, quando fazemos um teste de hipótese, temos duas hipóteses: a nula (H₀) e a alternativa (H₁). Um erro de tipo I ocorre quando a gente rejeita a hipótese nula, mesmo ela sendo verdadeira. No nosso caso, a hipótese nula é que 50% das pessoas têm 2 resfriados por ano.

Passo 3

Agora, vamos modelar o número de pessoas com 2 resfriados na amostra de 400. Isso segue uma distribuição binomial, onde cada pessoa tem duas possibilidades: ter ou não ter 2 resfriados. A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n = 400 $ (número de pessoas)
  • $ p = 0.5 $ (probabilidade de ter 2 resfriados)
  • $ k $ é o número de pessoas com 2 resfriados

Passo 4

Calcular diretamente a probabilidade binomial para $ k \geq 216 $ seria complicado, então vamos usar uma aproximação normal. Para grandes amostras, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal com média $ \mu $ e desvio padrão $ \sigma $, onde:
k >= 216
mu

Passo 5

Agora, vamos padronizar o valor de 216 para achar o valor z na distribuição normal padrão. A fórmula para o z-score é:
z = X - musigma
Substituindo os valores:
z = 216 - 20010 = 1610 = 1.6

Passo 6

Com o valor z calculado, vamos encontrar a probabilidade correspondente usando a tabela da distribuição normal padrão. A probabilidade de $ Z \geq 1.6 $ é aproximadamente 0.0548, ou seja, 5.48%.

Resposta

A probabilidade de cometer um erro de tipo I é de aproximadamente 5,48%.

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