a) a razão R entre as correntes elétricas formadas pelos íons de sódio e de potássio que atravessam a membrana da célula, devido à bomba de sódio-potássio;
b) a ordem de grandeza do módulo do campo elétrico E dentro da membrana da célula quando a diferença de potencial entre suas faces externa e interna é 70 mV e sua espessura é 7 nm;
c) a corrente elétrica total i através da membrana de um neurônio do cérebro humano, devido à bomba de sódio-potássio.
Note e adote: 1 nm=10^-9 m; a bomba de sódio-potássio em neurônio do cérebro humano é constituída por um milhão de moléculas de proteínas e cada uma delas transporta, por segundo, 2 1 0 N a^+ para fora e 1 4 0 K^+ para dentro da célula; carga do elétron =1,6 cdot 10^-19 C.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três partes que envolvem eletricidade nas células, especificamente na bomba de sódio-potássio de um neurônio no cérebro humano. Vamos precisar entender conceitos de corrente elétrica, campo elétrico e como calcular essas grandezas usando as informações fornecidas, como carga dos elétrons, quantidade de íons transportados e dimensões da membrana celular.

Passo 2

Parte a) A pergunta quer saber a razão $ R $ entre as correntes elétricas formadas pelos íons de sódio ($ Na^+ R á K^+ $) que atravessam a membrana celular pela bomba de sódio-potássio.
Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica $ I $ gerada pelo movimento de íons é dada por:
Na^+
onde:
  • $ n $ é o número de cargas que passam por segundo
  • $ q $ é a carga de cada íon
Dado que cada molécula da bomba transporta $ 2 \times 10^{10} $ íons de sódio para fora e $ 1 \times 10^{4} $ íons de potássio para dentro por segundo, e cada íon tem uma carga de $ 1,6 \times 10^{-19} $ C (carga do elétron), podemos calcular as correntes de sódio e potássio.
A razão $ R $ será a corrente de sódio dividida pela corrente de potássio.

Passo 3

Vamos calcular $ R $:
Para sódio:
R
Para potássio:
INa = nNa cdot q = 2 times 10^10 times 1,6 times 10^-19 , C/s
Então, a razão $ R $ é:
IK = nK cdot q = 1 times 10^4 times 1,6 times 10^-19 , C/s

Passo 4

Parte b) Queremos encontrar a ordem de grandeza do módulo do campo elétrico $ E $ dentro da membrana celular, dado que a diferença de potencial $ \Delta V $ entre as faces externa e interna é de 70 mV e a espessura $ d $ da membrana é de 7 nm.
O campo elétrico é dado por:
E
Vamos converter as unidades para o Sistema Internacional:
  • $ \Delta V = 70 , mV = 70 \times 10^{-3} , V $
  • $ d = 7 , nm = 7 \times 10^{-9} , m $
Agora, calculando $ E $:
De
A ordem de grandeza de $ E $ é $ 10^{7} , V/m $.

Passo 5

Parte c) Precisamos calcular a corrente elétrica total $ i $ através da membrana do neurônio devido à bomba de sódio-potássio.
Sabemos que cada bomba transporta $ 2 \times 10^{10} $ íons de sódio para fora e $ 1 \times 10^{4} $ íons de potássio para dentro por segundo. Também sabemos que há um milhão ($ 10^{6} $) de bombas na membrana.
Primeiro, calculamos a corrente por uma bomba:
i
Note que somamos as correntes de sódio e potássio porque ambas contribuem para a corrente total.
Como $ 1 \times 10^{4} $ é muito menor que $ 2 \times 10^{10} $, podemos aproximar:
2 times 10^10
Agora, multiplicamos pela quantidade de bombas:
1 times 10^4

Resposta

a) A razão $ R $ entre as correntes de sódio e potássio é $ 2 \times 10^{6} $.
b) A ordem de grandeza do campo elétrico $ E $ na membrana é $ 10^{7} , V/m $.
c) A corrente elétrica total $ i $ através da membrana é de aproximadamente $ 3,2 , mA $.

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