é realizada em um reator PFR isotermicamente. A concentração inicial de A é 2,0 mol^-1 e os valores das velocidades intrinsecas k1 e k2 são, respectivamente, 0,50 h^-1 e 0,20 h^-1.
Calcule o tempo espacial que maximizará a concentração de B.
Passo 1
Estamos analisando uma reação em série na fase líquida representada por:
A xrightarrowk1 B xrightarrowk2 C
Essa reação ocorre em um reator PFR (Reator Tubular de Fluxo Contínuo) de forma isotérmica. A concentração inicial de $ A $ é $ 2,0 , mol/L $ e as velocidades intrínsecas são $ k_{1} = 0,50 , h^{-1} $ e $ k_{2} = 0,20 , h^{-1} A é \tau $)** que maximiza a concentração de $ B $.
Para resolver isso, vamos utilizar as equações de balanço de matéria para reatores PFR com reações consecutivas e otimizar a concentração de $ B $ em função de $ \tau $.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações diferenciais que descrevem as variações das concentrações de $ A $, $ B $ e $ C $ em função do tempo espacial $ \tau $:
A
B
C
Começaremos resolvendo a equação para $ [A] $.
Passo 3
A equação para $ [A] $ é uma equação diferencial de primeira ordem:
[A]
A solução dessa equação é:
d[A]dtau = -k1[A]
Onde $ [A]_0 = 2,0 , mol/L $ é a concentração inicial de $ A $.
Passo 4
Agora, substituímos a expressão de $ [A] $ na equação para $ [B] $:
[A]
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida utilizando fatores integrantes.
Passo 5
A solução para a equação de $ [B] $ é:
[B]
Essa expressão descreve a concentração de $ B $ em função do tempo espacial $ \tau $.
Passo 6
Para encontrar o valor de $ \tau $ que maximiza $ [B] $, devemos derivar a expressão de $ [B] $ em relação a $ \tau $ e igualar a zero:
tau
Calculando a derivada:
[B]
Isso resulta na condição:
[B]
Passo 7
Para resolver a equação $ k_{1} e^{-k_{1}\tau} = k_{2} e^{-k_{2}\tau} $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
k1 e^-k1tau = k2 e^-k2tau
Rearranjando os termos:
ln(k1) - k1tau = ln(k2) - k2tau
Isolando $ \tau $:
(k2 - k1)tau = ln( k2k1 )
Resposta
Substituindo os valores fornecidos:
tau = ln( 0,200,50 )0,20 - 0,50 = ln(0,4)-0,30 = -0,9163-0,30 approx 3,05 , h
Portanto, o tempo espacial que maximizará a concentração de $ B $ é aproximadamente 3,05 horas.