Para realizar a divulgação de um filme, um cinema fez a seguinte promoção: irá sortear cinco copos personalizados do filme entre os participantes de uma certa sessão. Dois amigos estão assistindo o filme na sessão em que será realizado o sorteio dos copos. Se 40 pessoas estão presentes na sessão, a probabilidade de os dois amigos serem sorteados é
a) 1 / 20
b) 1 / 38
c) 2 / 95
d) 1 / 78
e) 3 / 110

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cinema que está sorteando 5 copos personalizados entre 40 pessoas que assistem a uma sessão. Dois amigos estão na sessão e queremos saber qual a probabilidade de os dois serem sorteados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas maneiras diferentes existem para sortear 5 pessoas entre as 40 presentes. Isso é calculado usando combinações, que nos dizem de quantas formas podemos escolher um grupo sem importar a ordem.
A fórmula das combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde:
  • C(40, 5) = 40!5!(40 - 5)! = 40!5! times 35! = 658008 é o total de pessoas,
  • é o número de pessoas a serem escolhidas.
Aplicando isso:
Então, existem 658.008 maneiras diferentes de escolher 5 pessoas entre 40.

Passo 3

Agora, queremos saber de quantas dessas maneiras os dois amigos estão incluídos no sorteio. Se os dois amigos já estão garantidos, precisamos escolher mais 3 pessoas entre as restantes 38 (já que 40 menos os 2 amigos dá 38).
Usando novamente a combinação:
C(38, 3) = 38!3!(38 - 3)! = 38!3! times 35! = 8436
Então, há 8.436 maneiras de escolher os outros 3 ganhadores além dos dois amigos.

Passo 4

A probabilidade de ambos os amigos serem sorteados é a razão entre as maneiras favoráveis (onde os dois são escolhidos) e o total de maneiras possíveis.
Probabilidade = Número de maneiras favoráveisNúmero total de maneiras = 8436658008 úáú
Simplificando essa fração:
8436658008 = 2155
Reduzindo ainda mais:
2155 = 295 (após simplificar) ó

Resposta

A probabilidade de os dois amigos serem sorteados é . Alternativa © .

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