Em recente pesquisa levada a 500 habitantes de Fortaleza, 380 se mostraram contrários à privatização da PETROBRAS.
a) Construa um I. C. para a proporção de habitantes dessa cidade que são desfavoráveis à privatização dessa empresa, ao nível de confiança de 99 %.
b) Qual deveria ser o tamanho da amostra para que se estivesse confiante que o erro de estimativa não excedesse 4 % ?
c) Com que grau de confiança se poderia dizer que a proporção populacional está entre 0,76 pm 0,037 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma pesquisa realizada com 500 habitantes de Fortaleza, onde 380 são contrários à privatização da PETROBRAS. Vamos abordar as três partes do exercício, que envolvem conceitos de Intervalo de Confiança e Tamanho da Amostra. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de proporção e entender como calcular intervalos de confiança e determinar tamanhos de amostra adequados.

Passo 2

Parte a): Queremos construir um Intervalo de Confiança (IC) para a proporção de habitantes que são desfavoráveis à privatização da PETROBRAS, com um nível de confiança de 99%.
Primeiro, vamos identificar a proporção amostral ( p = número de favoráveistamanho da amostra = 380500 = 0,76 ):
IC = p pm Z times raizp(1 - p)n úá
Agora, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para uma proporção:
raiz0,76 times (1 - 0,76)500 = raiz0,76 times 0,24500 = raiz0,1824500 = raiz0,0003648 approx 0,0191
Onde:
  • IC = 0,76 pm 2,576 times 0,0191 é a proporção amostral.
  • IC = 0,76 pm 0,0492 é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • IC = (0,7108, 0,8092) é o tamanho da amostra.
Para um nível de confiança de 99%, o valor crítico é aproximadamente 2,576.
Vamos calcular o erro padrão:
Agora, calculamos o intervalo:

Passo 3

Parte b): Queremos determinar o tamanho da amostra necessário para que o erro de estimativa não exceda 4% (0,04) com um certo nível de confiança.
A fórmula para o tamanho da amostra ( n = ( Z^2 times p(1 - p)E^2 ) ) é:
n = ( (1,96)^2 times 0,5 times 0,50,04^2 ) = ( 3,8416 times 0,250,0016 ) = 0,96040,0016 = 600,25
Onde:
  • é o valor crítico correspondente ao nível de confiança desejado.
  • é a proporção estimada.
  • é a margem de erro máxima permitida.
Assumindo que não sabemos com antecedência, usamos 0,5 para maximizar o tamanho da amostra:
Arredondando, precisamos de 601 habitantes na amostra.

Passo 4

Parte c): Queremos encontrar o grau de confiança para o qual a proporção populacional está entre 0,76 ± 0,037.
Aqui, temos a margem de erro ( E = Z times raizp(1 - p)n implies Z = Eraizp(1 - p)n ) de 0,037 e a proporção amostral ( raiz0,76 times 0,24500 = raiz0,1824500 approx 0,0191 ). Queremos encontrar o valor de Z = 0,0370,0191 approx 1,936 que satisfaz:
P(Z <= 1,936) approx 0,9734
Calculando o denominador:
Então,
Agora, precisamos encontrar o nível de confiança correspondente a . Consultando a tabela da distribuição normal, vemos que:
Como o intervalo é bilateral, o nível de confiança é aproximadamente 97,34%.

Resposta

a) O intervalo de confiança para a proporção é aproximadamente (0,711, 0,809) com 99% de confiança.
b) O tamanho da amostra necessário é de 601 habitantes.
c) O grau de confiança é de aproximadamente 97,34%.

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