Em recente pesquisa levada a 500 habitantes de Fortaleza, 380 se mostraram contrários à privatização da PETROBRAS.
a) Construa um I. C. para a proporção de habitantes dessa cidade que são desfavoráveis à privatização dessa empresa, ao nível de confiança de
.
b) Qual deveria ser o tamanho da amostra para que se estivesse confiante que o erro de estimativa não excedesse
?
c) Com que grau de confiança se poderia dizer que a proporção populacional está entre
?
a) Construa um I. C. para a proporção de habitantes dessa cidade que são desfavoráveis à privatização dessa empresa, ao nível de confiança de
b) Qual deveria ser o tamanho da amostra para que se estivesse confiante que o erro de estimativa não excedesse
c) Com que grau de confiança se poderia dizer que a proporção populacional está entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma pesquisa realizada com 500 habitantes de Fortaleza, onde 380 são contrários à privatização da PETROBRAS. Vamos abordar as três partes do exercício, que envolvem conceitos de Intervalo de Confiança e Tamanho da Amostra. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de proporção e entender como calcular intervalos de confiança e determinar tamanhos de amostra adequados.
Passo 2
Parte a): Queremos construir um Intervalo de Confiança (IC) para a proporção de habitantes que são desfavoráveis à privatização da PETROBRAS, com um nível de confiança de 99%.
Primeiro, vamos identificar a proporção amostral (
):
Agora, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para uma proporção:
Onde:
-
é a proporção amostral. -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado. -
é o tamanho da amostra.
Para um nível de confiança de 99%, o valor crítico
é aproximadamente 2,576.
Vamos calcular o erro padrão:
Agora, calculamos o intervalo:
Passo 3
Parte b): Queremos determinar o tamanho da amostra necessário para que o erro de estimativa não exceda 4% (0,04) com um certo nível de confiança.
A fórmula para o tamanho da amostra (
) é:
Onde:
-
é o valor crítico correspondente ao nível de confiança desejado. -
é a proporção estimada. -
é a margem de erro máxima permitida.
Assumindo que não sabemos
com antecedência, usamos 0,5 para maximizar o tamanho da amostra:
Arredondando, precisamos de 601 habitantes na amostra.
Passo 4
Parte c): Queremos encontrar o grau de confiança para o qual a proporção populacional está entre 0,76 ± 0,037.
Aqui, temos a margem de erro (
) de 0,037 e a proporção amostral (
). Queremos encontrar o valor de
que satisfaz:
Calculando o denominador:
Então,
Agora, precisamos encontrar o nível de confiança correspondente a
. Consultando a tabela da distribuição normal, vemos que:
Como o intervalo é bilateral, o nível de confiança é aproximadamente 97,34%.
Resposta
a) O intervalo de confiança para a proporção é aproximadamente (0,711, 0,809) com 99% de confiança.
b) O tamanho da amostra necessário é de 601 habitantes.
c) O grau de confiança é de aproximadamente 97,34%.