Um processo de fabricação produziu milhões de chips de TV com vida média de 15 anos e desvio padrão 0,5 anos. Foi implantado um novo processo de fabricação, para substituir o antigo, na produção de chips. Tomou-se então deste novo processo uma amostra de 9 chips e através de testes acelerados observou-se uma média de 15,5 anos de vida. Assuma que não houve alteração no desvio padrão.
a) Ao nível de
de significância, verifique através de um teste de hipótese se a indústria deve adotar o novo processo de fabricação.
b) Determine um intervalo de confiança para o tempo de vida dos chips com o novo processo com
de confiança e interprete-o.
c) Explique os erros tipo I e II no contexto do problema
a) Ao nível de
b) Determine um intervalo de confiança para o tempo de vida dos chips com o novo processo com
c) Explique os erros tipo I e II no contexto do problema
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse problema juntos! Estamos lidando com estatística, mais especificamente com testes de hipótese, intervalos de confiança e erros tipo I e II. Para resolver isso, vamos precisar entender média, desvio padrão, distribuição normal e como aplicar testes estatísticos e intervalos de confiança.
Passo 2
Parte a): Primeiro, vamos verificar se a indústria deve adotar o novo processo de fabricação usando um teste de hipótese com nível de significância de 5%.
Passo 3
Vamos começar definindo as hipóteses:
- Hipótese nula (H₀): O novo processo não muda a vida média dos chips. Então,
anos. - Hipótese alternativa (H₁): O novo processo aumenta a vida média dos chips. Assim,
anos.
Passo 4
Como conhecemos o desvio padrão da população (
anos) e o tamanho da amostra é 9, podemos usar o teste z. A fórmula para o estatístico de teste é:
Onde:
-
anos (média da amostra) -
anos -
anos -
Passo 5
Vamos calcular o valor de z:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor crítico para um teste unilateral à direita com nível de significância de 5%. Olhando na tabela z, o valor crítico é aproximadamente 1,645.
Passo 7
Como o nosso z calculado (3) é maior que o valor crítico (1,645), rejeitamos a hipótese nula.
Passo 8
Então, com base nesses cálculos, há evidências suficientes para afirmar que o novo processo de fabricação aumenta a vida média dos chips.
Passo 9
Parte b): Vamos determinar um intervalo de confiança de 95% para o tempo de vida dos chips com o novo processo.
Passo 10
A fórmula para o intervalo de confiança é:
Onde:
-
anos -
para 95% de confiança -
anos -
Passo 11
Vamos calcular:
Então, o intervalo de confiança é aproximadamente [15,173 anos, 15,827 anos].
Passo 12
Interpretação: Estamos 95% confiantes de que a verdadeira média de vida dos chips com o novo processo está entre 15,173 anos e 15,827 anos.
Passo 13
Parte c): Vamos falar sobre os erros tipo I e II no contexto desse problema.
Passo 14
-
Erro Tipo I: Rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Ou seja, acreditar que o novo processo aumenta a vida média dos chips quando, na verdade, não há mudança.
-
Erro Tipo II: Não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira. Ou seja, não reconhecer que o novo processo realmente aumenta a vida média dos chips quando ele de fato o faz.
Resposta
a) Com nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese nula e devemos adotar o novo processo de fabricação, pois há evidências suficientes de que ele aumenta a vida média dos chips.
b) O intervalo de confiança de 95% para a vida média dos chips com o novo processo é aproximadamente [15,173 anos, 15,827 anos]. Isso significa que estamos 95% confiantes de que a verdadeira média está dentro desse intervalo.
c) No contexto do problema:
- Erro Tipo I seria concluir que o novo processo aumenta a vida média dos chips quando, na verdade, ele não faz diferença.
- Erro Tipo II seria não detectar um aumento real na vida média dos chips devido ao novo processo quando ele realmente existe.