Um processo de fabricação produziu milhões de chips de TV com vida média de 15 anos e desvio padrão 0,5 anos. Foi implantado um novo processo de fabricação, para substituir o antigo, na produção de chips. Tomou-se então deste novo processo uma amostra de 9 chips e através de testes acelerados observou-se uma média de 15,5 anos de vida. Assuma que não houve alteração no desvio padrão.
a) Ao nível de 5 % de significância, verifique através de um teste de hipótese se a indústria deve adotar o novo processo de fabricação.
b) Determine um intervalo de confiança para o tempo de vida dos chips com o novo processo com 95 % de confiança e interprete-o.
c) Explique os erros tipo I e II no contexto do problema

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse problema juntos! Estamos lidando com estatística, mais especificamente com testes de hipótese, intervalos de confiança e erros tipo I e II. Para resolver isso, vamos precisar entender média, desvio padrão, distribuição normal e como aplicar testes estatísticos e intervalos de confiança.

Passo 2

Parte a): Primeiro, vamos verificar se a indústria deve adotar o novo processo de fabricação usando um teste de hipótese com nível de significância de 5%.

Passo 3

Vamos começar definindo as hipóteses:
  • Hipótese nula (H₀): O novo processo não muda a vida média dos chips. Então, anos.
  • Hipótese alternativa (H₁): O novo processo aumenta a vida média dos chips. Assim, anos.

Passo 4

Como conhecemos o desvio padrão da população ( z = barx - musigmaraizn anos) e o tamanho da amostra é 9, podemos usar o teste z. A fórmula para o estatístico de teste é:
Onde:
  • anos (média da amostra)
  • anos
  • anos

Passo 5

Vamos calcular o valor de z:
z = 15,5 - 150,5raiz9 = 0,50,53 = 0,50,1667 approx 3

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor crítico para um teste unilateral à direita com nível de significância de 5%. Olhando na tabela z, o valor crítico é aproximadamente 1,645.

Passo 7

Como o nosso z calculado (3) é maior que o valor crítico (1,645), rejeitamos a hipótese nula.

Passo 8

Então, com base nesses cálculos, há evidências suficientes para afirmar que o novo processo de fabricação aumenta a vida média dos chips.

Passo 9

Parte b): Vamos determinar um intervalo de confiança de 95% para o tempo de vida dos chips com o novo processo.

Passo 10

A fórmula para o intervalo de confiança é:
barx pm zalpha2 cdot sigmaraizn
Onde:
  • anos
  • para 95% de confiança
  • anos

Passo 11

Vamos calcular:
15,5 pm 1,96 cdot 0,5raiz9 = 15,5 pm 1,96 cdot 0,1667 approx 15,5 pm 0,327
Então, o intervalo de confiança é aproximadamente [15,173 anos, 15,827 anos].

Passo 12

Interpretação: Estamos 95% confiantes de que a verdadeira média de vida dos chips com o novo processo está entre 15,173 anos e 15,827 anos.

Passo 13

Parte c): Vamos falar sobre os erros tipo I e II no contexto desse problema.

Passo 14

  • Erro Tipo I: Rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Ou seja, acreditar que o novo processo aumenta a vida média dos chips quando, na verdade, não há mudança.
  • Erro Tipo II: Não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira. Ou seja, não reconhecer que o novo processo realmente aumenta a vida média dos chips quando ele de fato o faz.

Resposta

a) Com nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese nula e devemos adotar o novo processo de fabricação, pois há evidências suficientes de que ele aumenta a vida média dos chips.
b) O intervalo de confiança de 95% para a vida média dos chips com o novo processo é aproximadamente [15,173 anos, 15,827 anos]. Isso significa que estamos 95% confiantes de que a verdadeira média está dentro desse intervalo.
c) No contexto do problema:
  • Erro Tipo I seria concluir que o novo processo aumenta a vida média dos chips quando, na verdade, ele não faz diferença.
  • Erro Tipo II seria não detectar um aumento real na vida média dos chips devido ao novo processo quando ele realmente existe.

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