Um fabricante de certa marca de chips afirma que, sob forte estresse, o tempo médio de vida dos chips é de 18,7 horas com desvio padrão de 2,5 horas. Um pesquisador questiona essa afirmação e acredita que o tempo de vida é menor que o afirmado pelo fabricante. Para se certificar dessa dúvida, o pesquisador seleciona uma amostra aleatória de 36 chips nessas condições, encontrando um tempo de vida médio de 17,5 horas e um desvio padrão de 2,0 horas.
a) Ao nível de significância de
, teste a afirmativa do fabricante.
b) Caso o fabricante não tivesse a menor ideia sobre a média e variância do tempo de vida dos chips, seria possível, baseado na amostra retirada, estimar o tempo médio de vida dos chips? Caso sim, use
.
a) Ao nível de significância de
b) Caso o fabricante não tivesse a menor ideia sobre a média e variância do tempo de vida dos chips, seria possível, baseado na amostra retirada, estimar o tempo médio de vida dos chips? Caso sim, use
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um fabricante que diz que os chips que eles produzem duram, em média, 18,7 horas sob estresse, com um desvio padrão de 2,5 horas. Mas um pesquisador acha que esse tempo de vida é menor. Para verificar isso, ele pegou uma amostra de 36 chips e descobriu que, em média, eles duraram 17,5 horas, com um desvio padrão de 2,0 horas. Vamos usar estatística para ver se a afirmação do fabricante está correta. Precisaremos entender testes de hipóteses, especificamente o teste z para médias.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses. A hipótese nula (
) é que o tempo médio de vida dos chips é igual ao que o fabricante afirma, ou seja,
horas. A hipótese alternativa (
) é que o tempo médio é menor que 18,7 horas, então
.
Passo 3
Como o desvio padrão da população é conhecido (2,5 horas) e temos uma amostra grande (n = 36), podemos usar o teste z. A fórmula para o teste z é:
Onde:
-
é a média da amostra (17,5 horas), -
é a média declarada pelo fabricante (18,7 horas), -
é o desvio padrão da população (2,5 horas), -
é o tamanho da amostra (36).
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão, que é
:
Passo 5
Agora, calculamos o valor do z:
Passo 6
Com o nível de significância de 5% (
) e sendo um teste unilateral à esquerda, precisamos encontrar o valor crítico de z que corresponde a 5% na cauda esquerda da distribuição normal. Esse valor é aproximadamente
.
Passo 7
Comparamos o nosso z calculado (-2,88) com o valor crítico (-1,645):
- Se
, rejeitamos a hipótese nula. - Se
, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.
No nosso caso, -2,88 < -1,645, então vamos rejeitar
.
Passo 8
Legal, agora vamos para a segunda parte! Se o fabricante não sabe nada sobre a média e variância do tempo de vida dos chips, podemos usar a amostra que o pesquisador retirou para estimar a média de vida dos chips. Vamos construir um intervalo de confiança com nível de confiança de 95% (
).
Passo 9
Como não conhecemos o desvio padrão da população e a amostra é relativamente grande (n = 36), podemos usar a distribuição normal para construir o intervalo de confiança. A fórmula é:
Onde:
-
é a média da amostra (17,5 horas), -
é o valor z para 95% de confiança (aproximadamente 1,96), -
é o desvio padrão da amostra (2,0 horas), -
é o tamanho da amostra (36).
Passo 10
Vamos calcular o erro padrão:
Passo 11
Agora, multiplicamos o valor z pelo erro padrão:
Passo 12
Construímos o intervalo de confiança:
Então:
e
Resposta
Com base na amostra, podemos estimar que a média de vida dos chips está entre aproximadamente 16,85 e 18,15 horas com 95% de confiança.
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?
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b) O tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a
c) Suponha que a empresa que fornece o produto afirme que a percentagem de consumidores do produto gira em torno de