Um recipiente esférico de instrumentos para medições submarinas, usado para sondagens e para medir condições da água, feito em aço inox (
; c =
;
) tem um raio de 20 cm e os seus equipamentos eletrônicos internos produzem uma taxa de geração de energia térmica uniforme igual a
durante seu funcionamento. O recipiente trabalha dentro de uma baía na qual a temperatura da água é de
e o coeficiente de convecção é de
. Calcule a taxa de variação da temperatura superficial do reservatório no tempo no instante em que o equipamento é ligado dentro da baía, considerando que a sua temperatura inicial é de
, devido ao mesmo estar exposto ao Sol antes ser submerso na água.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um recipiente esférico usado para medições submarinas. A gente precisa calcular como a temperatura da superfície desse recipiente muda com o tempo quando os equipamentos internos começam a esquentar. Vamos usar conceitos de transferência de calor, levando em conta a geração de calor interna, a condução no material e a convecção com a água ao redor. Para resolver isso, vamos precisar das propriedades do aço inox, das condições iniciais e das taxas de geração e dissipação de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O recipiente é uma esfera com raio de 20 cm, ou seja,
. A área superficial da esfera é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular a taxa total de geração de calor dentro da esfera. A taxa de geração de calor por unidade de volume é
. O volume da esfera é:
Portanto, a taxa total de geração de calor é:
Passo 4
A dissipação de calor pela superfície ocorre por convecção com a água. A taxa de dissipação de calor por convecção é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente de convecção, -
é a área superficial, -
é a temperatura da superfície, -
é a temperatura da água.
Passo 5
No instante em que o equipamento é ligado, a temperatura inicial do recipiente é
. Queremos encontrar a taxa de variação da temperatura da superfície, ou seja,
no tempo
.
Passo 6
Para isso, aplicamos o princípio da conservação de energia. A taxa de acumulação de calor no recipiente é igual à geração de calor menos a dissipação por convecção:
Onde:
-
é a massa do recipiente, -
é a capacidade térmica específica do aço inox, -
é a taxa de variação da temperatura.
Passo 7
Calculamos a massa do recipiente usando a densidade
e o volume:
Passo 8
Substituindo
na equação de conservação de energia:
Simplificando:
Passo 9
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A taxa de variação da temperatura superficial do reservatório no instante em que o equipamento é ligado é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Em relação à massa específica, densidade e peso específico dos fluidos são feitas as seguintes afirmações:
(I) A massa específica dos fluidos varia com a temperatura.
(II) A densidade dos fluidos não tem relação com a temperatura.
(III) A massa específica dos fluidos pode variar com a salinidade.
(IV) A estratificação térmica pode ocorrer em reservatórios profundos, durante o verão.
(V) A estratificação térmica não altera o peso específico de um fluido ao longo da vertical.
Quais itens são verdadeiros? Justifique.
(I) A massa específica dos fluidos varia com a temperatura.
(II) A densidade dos fluidos não tem relação com a temperatura.
(III) A massa específica dos fluidos pode variar com a salinidade.
(IV) A estratificação térmica pode ocorrer em reservatórios profundos, durante o verão.
(V) A estratificação térmica não altera o peso específico de um fluido ao longo da vertical.
Quais itens são verdadeiros? Justifique.
Em relação à massa específica, densidade e peso específico dos fluidos são feitas as seguintes afirmações:
(I) A massa específica dos gases diminui com aumento de temperatura.
(II) A temperatura não influencia o peso específico dos gases.
(III) A massa específica dos líquidos em geral aumenta com o acréscimo de temperatura.
(IV) Em condição de equilíbrio, a densidade de um reservatório estratificado aumenta com a profundidade.
(V) Fluidos incompressíveis têm sua densidade alterada com variações de pressão.
Quais itens são verdadeiros? Justifique.
(I) A massa específica dos gases diminui com aumento de temperatura.
(II) A temperatura não influencia o peso específico dos gases.
(III) A massa específica dos líquidos em geral aumenta com o acréscimo de temperatura.
(IV) Em condição de equilíbrio, a densidade de um reservatório estratificado aumenta com a profundidade.
(V) Fluidos incompressíveis têm sua densidade alterada com variações de pressão.
Quais itens são verdadeiros? Justifique.
Em relação à massa específica, densidade e peso específico dos fluidos são feitas as seguintes afirmações:
(I) Para a maioria das aplicações, a água é um fluido incompressível.
(II) Água, álcool e ar atmosférico são exemplos de fluidos compressíveis.
(III) Em geral, os líquidos apresentam diminuição da massa específica com o aumento da temperatura.
(IV) Lagos estratificados apresentam redução da massa específica com aumento das profundidades.
(V) Salinidade e temperatura são fatores que interferem na massa específica dos líquidos.
Quais itens são verdadeiros? Justifique.
(I) Para a maioria das aplicações, a água é um fluido incompressível.
(II) Água, álcool e ar atmosférico são exemplos de fluidos compressíveis.
(III) Em geral, os líquidos apresentam diminuição da massa específica com o aumento da temperatura.
(IV) Lagos estratificados apresentam redução da massa específica com aumento das profundidades.
(V) Salinidade e temperatura são fatores que interferem na massa específica dos líquidos.
Quais itens são verdadeiros? Justifique.
Um reservatório esférico que armazena rejeitos radioativos que geram calor a uma taxa uniforme de
é composto por uma casca esférica de chumbo com um raio interno
e espessura de
. O interior da casca de chumbo é totalmente preenchido pelos rejeitos. É aplicado um revestimento externamente a casca de chumbo com espessura de 3 cm . Esse reservatório é mergulhado em um meio líquido cuja temperatura é
, que proporciona um coeficiente convectivo de
na superfície externa do conjunto esférico. Determine a temperatura máxima dos rejeitos radioativos, considerando que a condutividade térmica do material é
.