Um recipiente esférico de instrumentos para medições submarinas, usado para sondagens e para medir condições da água, feito em aço inox ( rho=8055 kg / m^3; c = 480 J /(kg ^circ C ; k=15 W /(m ^circ C) ) tem um raio de 20 cm e os seus equipamentos eletrônicos internos produzem uma taxa de geração de energia térmica uniforme igual a dotq=48 kW / m^3 durante seu funcionamento. O recipiente trabalha dentro de uma baía na qual a temperatura da água é de 16^circ C e o coeficiente de convecção é de 215 W /(m^2 ^circ C). Calcule a taxa de variação da temperatura superficial do reservatório no tempo no instante em que o equipamento é ligado dentro da baía, considerando que a sua temperatura inicial é de 27^circ C, devido ao mesmo estar exposto ao Sol antes ser submerso na água.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um recipiente esférico usado para medições submarinas. A gente precisa calcular como a temperatura da superfície desse recipiente muda com o tempo quando os equipamentos internos começam a esquentar. Vamos usar conceitos de transferência de calor, levando em conta a geração de calor interna, a condução no material e a convecção com a água ao redor. Para resolver isso, vamos precisar das propriedades do aço inox, das condições iniciais e das taxas de geração e dissipação de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O recipiente é uma esfera com raio de 20 cm, ou seja, A = 4pi r^2 = 4pi (0,2)^2 = 0,16pi , m^2 . A área superficial da esfera é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa total de geração de calor dentro da esfera. A taxa de geração de calor por unidade de volume é V = 43pi r^3 = 43pi (0,2)^3 = 43pi (0,008) approx 0,0335pi , m^3 . O volume da esfera é:
Q>=n = dotq times V = 48000 times 0,0335pi approx 1608pi , W
Portanto, a taxa total de geração de calor é:

Passo 4

A dissipação de calor pela superfície ocorre por convecção com a água. A taxa de dissipação de calor por convecção é dada por:
Qconv = h A (Ts - Tinfty)
Onde:
  • é o coeficiente de convecção,
  • é a área superficial,
  • é a temperatura da superfície,
  • é a temperatura da água.

Passo 5

No instante em que o equipamento é ligado, a temperatura inicial do recipiente é . Queremos encontrar a taxa de variação da temperatura da superfície, ou seja, no tempo .

Passo 6

Para isso, aplicamos o princípio da conservação de energia. A taxa de acumulação de calor no recipiente é igual à geração de calor menos a dissipação por convecção:
m c dTsdt = Q>=n - Qconv
Onde:
  • é a massa do recipiente,
  • é a capacidade térmica específica do aço inox,
  • é a taxa de variação da temperatura.

Passo 7

Calculamos a massa do recipiente usando a densidade m = rho V = 8055 times 0,0335pi approx 269 pi , kg e o volume:

Passo 8

Substituindo 269pi times 480 times dTsdt = 1608pi - 215 times 0,16pi times (27 - 16) na equação de conservação de energia:
269pi times 480 times dTsdt = 1608pi - 215 times 0,16pi times 11
Simplificando:
269pi times 480 times dTsdt = 1608pi - 379.6pi
269pi times 480 times dTsdt = 1228.4pi

Passo 9

Agora, resolvemos para dTsdt = 1228.4pi269pi times 480 = 1228.4269 times 480 approx 1228.4129120 approx 0,0095 , ^circC/s :

Resposta

A taxa de variação da temperatura superficial do reservatório no instante em que o equipamento é ligado é aproximadamente .

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