Um recipiente esférico de instrumentos para medições submarinas, usado para sondagens e para medir condições da água, feito em aço inox (
; c =
;
) tem um raio de 20 cm e os seus equipamentos eletrônicos internos produzem uma taxa de geração de energia térmica uniforme igual a
durante seu funcionamento. O recipiente trabalha dentro de uma baía na qual a temperatura da água é de
e o coeficiente de convecção é de
. Calcule a taxa de variação da temperatura superficial do reservatório no tempo no instante em que o equipamento é ligado dentro da baía, considerando que a sua temperatura inicial é de
, devido ao mesmo estar exposto ao Sol antes ser submerso na água.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um recipiente esférico usado para medições submarinas. A gente precisa calcular como a temperatura da superfície desse recipiente muda com o tempo quando os equipamentos internos começam a esquentar. Vamos usar conceitos de transferência de calor, levando em conta a geração de calor interna, a condução no material e a convecção com a água ao redor. Para resolver isso, vamos precisar das propriedades do aço inox, das condições iniciais e das taxas de geração e dissipação de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O recipiente é uma esfera com raio de 20 cm, ou seja,
. A área superficial da esfera é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular a taxa total de geração de calor dentro da esfera. A taxa de geração de calor por unidade de volume é
. O volume da esfera é:
Portanto, a taxa total de geração de calor é:
Passo 4
A dissipação de calor pela superfície ocorre por convecção com a água. A taxa de dissipação de calor por convecção é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente de convecção, -
é a área superficial, -
é a temperatura da superfície, -
é a temperatura da água.
Passo 5
No instante em que o equipamento é ligado, a temperatura inicial do recipiente é
. Queremos encontrar a taxa de variação da temperatura da superfície, ou seja,
no tempo
.
Passo 6
Para isso, aplicamos o princípio da conservação de energia. A taxa de acumulação de calor no recipiente é igual à geração de calor menos a dissipação por convecção:
Onde:
-
é a massa do recipiente, -
é a capacidade térmica específica do aço inox, -
é a taxa de variação da temperatura.
Passo 7
Calculamos a massa do recipiente usando a densidade
e o volume:
Passo 8
Substituindo
na equação de conservação de energia:
Simplificando:
Passo 9
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A taxa de variação da temperatura superficial do reservatório no instante em que o equipamento é ligado é aproximadamente
.