Um recipiente esférico de instrumentos para medições submarinas, usado para sondagens e para medir condições da água, feito em aço inox ( ; c = ; ) tem um raio de 20 cm e os seus equipamentos eletrônicos internos produzem uma taxa de geração de energia térmica uniforme igual a durante seu funcionamento. O recipiente trabalha dentro de uma baía na qual a temperatura da água é de e o coeficiente de convecção é de . Calcule a taxa de variação da temperatura superficial do reservatório no tempo no instante em que o equipamento é ligado dentro da baía, considerando que a sua temperatura inicial é de , devido ao mesmo estar exposto ao Sol antes ser submerso na água.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um recipiente esférico usado para medições submarinas. A gente precisa calcular como a temperatura da superfície desse recipiente muda com o tempo quando os equipamentos internos começam a esquentar. Vamos usar conceitos de transferência de calor, levando em conta a geração de calor interna, a condução no material e a convecção com a água ao redor. Para resolver isso, vamos precisar das propriedades do aço inox, das condições iniciais e das taxas de geração e dissipação de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O recipiente é uma esfera com raio de 20 cm, ou seja, . A área superficial da esfera é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa total de geração de calor dentro da esfera. A taxa de geração de calor por unidade de volume é . O volume da esfera é:
Portanto, a taxa total de geração de calor é:

Passo 4

A dissipação de calor pela superfície ocorre por convecção com a água. A taxa de dissipação de calor por convecção é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente de convecção,
  • é a área superficial,
  • é a temperatura da superfície,
  • é a temperatura da água.

Passo 5

No instante em que o equipamento é ligado, a temperatura inicial do recipiente é . Queremos encontrar a taxa de variação da temperatura da superfície, ou seja, no tempo .

Passo 6

Para isso, aplicamos o princípio da conservação de energia. A taxa de acumulação de calor no recipiente é igual à geração de calor menos a dissipação por convecção:
Onde:
  • é a massa do recipiente,
  • é a capacidade térmica específica do aço inox,
  • é a taxa de variação da temperatura.

Passo 7

Calculamos a massa do recipiente usando a densidade e o volume:

Passo 8

Substituindo na equação de conservação de energia:
Simplificando:

Passo 9

Agora, resolvemos para :

Resposta

A taxa de variação da temperatura superficial do reservatório no instante em que o equipamento é ligado é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Em relação à massa específica, densidade e peso específico dos fluidos são feitas as seguintes afirmações:
(I) A massa específica dos fluidos varia com a temperatura.
(II) A densidade dos fluidos não tem relação com a temperatura.
(III) A massa específica dos fluidos pode variar com a salinidade.
(IV) A estratificação térmica pode ocorrer em reservatórios profundos, durante o verão.
(V) A estratificação térmica não altera o peso específico de um fluido ao longo da vertical.
Quais itens são verdadeiros? Justifique.
Em relação à massa específica, densidade e peso específico dos fluidos são feitas as seguintes afirmações:
(I) A massa específica dos gases diminui com aumento de temperatura.
(II) A temperatura não influencia o peso específico dos gases.
(III) A massa específica dos líquidos em geral aumenta com o acréscimo de temperatura.
(IV) Em condição de equilíbrio, a densidade de um reservatório estratificado aumenta com a profundidade.
(V) Fluidos incompressíveis têm sua densidade alterada com variações de pressão.
Quais itens são verdadeiros? Justifique.
Em relação à massa específica, densidade e peso específico dos fluidos são feitas as seguintes afirmações:
(I) Para a maioria das aplicações, a água é um fluido incompressível.
(II) Água, álcool e ar atmosférico são exemplos de fluidos compressíveis.
(III) Em geral, os líquidos apresentam diminuição da massa específica com o aumento da temperatura.
(IV) Lagos estratificados apresentam redução da massa específica com aumento das profundidades.
(V) Salinidade e temperatura são fatores que interferem na massa específica dos líquidos.
Quais itens são verdadeiros? Justifique.
Um reservatório esférico que armazena rejeitos radioativos que geram calor a uma taxa uniforme de é composto por uma casca esférica de chumbo com um raio interno e espessura de . O interior da casca de chumbo é totalmente preenchido pelos rejeitos. É aplicado um revestimento externamente a casca de chumbo com espessura de 3 cm . Esse reservatório é mergulhado em um meio líquido cuja temperatura é , que proporciona um coeficiente convectivo de na superfície externa do conjunto esférico. Determine a temperatura máxima dos rejeitos radioativos, considerando que a condutividade térmica do material é .