Um reservatório esférico que armazena rejeitos radioativos que geram calor a uma taxa uniforme de dotq=9,5 times 10^4 W / m^3 é composto por uma casca esférica de chumbo com um raio interno r1=28 cm e espessura de 6 cm(kpb=35 W /(m cdot K)). O interior da casca de chumbo é totalmente preenchido pelos rejeitos. É aplicado um revestimento externamente a casca de chumbo com espessura de 3 cm . Esse reservatório é mergulhado em um meio líquido cuja temperatura é T infty=10^circ C, que proporciona um coeficiente convectivo de h=1000 W /(m^2 K) na superfície externa do conjunto esférico. Determine a temperatura máxima dos rejeitos radioativos, considerando que a condutividade térmica do material é kRR=6 W /(m cdot K).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um reservatório esférico que guarda rejeitos radioativos que produzem calor. A gente vai precisar usar conceitos de condução de calor em esferas, fluxo de calor e transferência por convecção. Vamos resolver passo a passo para encontrar a temperatura máxima dos rejeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as camadas do reservatório. Temos três partes principais:
  1. Rejeitos Radioativos: Preenchendo o interior até um raio de (ou ), gerando calor a uma taxa de . A condutividade térmica desse material é .
  2. Casca de Chumbo: Com espessura de (ou ) e condutividade térmica . O raio externo dessa casca é .
  3. Revestimento Externo: Com espessura de (ou ), levando o raio total para .
O reservatório está imerso em um líquido com temperatura ambiente e coeficiente de convecção .

Passo 3

Vamos considerar que o sistema está em regime permanente, ou seja, a temperatura não muda com o tempo. Queremos encontrar a temperatura máxima dos rejeitos, que será no centro do reservatório ( ).
Para isso, precisamos calcular o fluxo de calor que sai dos rejeitos através das camadas e chega à superfície externa, onde ocorre a convecção.

Passo 4

Primeiro, calculamos a geração de calor nos rejeitos. A taxa de geração de calor por unidade de volume é Q = dotq times Volume .
O fluxo de calor total gerado ( Q = 9,5 times 10^4 times 43 pi (0,28)^3 ) dentro do volume dos rejeitos é:
A volume de uma esfera é .
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a resistência térmica de cada camada. A resistência térmica ( R = 14 pi k ( 1ri - 1re ) ) para condução em esferas é dada por:
Rpb = 14 pi times 35 ( 10,28 - 10,34 )
onde Rrr = 14 pi times 6 ( 10,34 - 10,37 ) é a condutividade térmica, é o raio interno e é o raio externo da camada.
Temos duas camadas de condução:
  1. Casca de Chumbo:
  1. Revestimento Externo:

Passo 6

Além das resistências das camadas, temos a resistência térmica da convecção na superfície externa:
Rconv = 1h times 4 pi r3^2 = 11000 times 4 pi (0,37)^2

Passo 7

Agora, somamos todas as resistências térmicas para obter a resistência total ( Rtotal = Rpb + Rrr + Rconv ):

Passo 8

Com a resistência total e o fluxo de calor De calculados, podemos usar a relação:
Tmax = Tinfty + De
onde é a diferença de temperatura entre o centro (onde está ) e a superfície externa.
Então,

Passo 9

Vamos agora calcular cada parte numericamente:
  1. Fluxo de Calor Q = 9,5 times 10^4 times 43 pi (0,28)^3 approx 9,5 times 10^4 times 43 pi times 0,021952 approx 9,5 times 10^4 times 0,0922 approx 8759 , W :
Rpb = 14 pi times 35 ( 10,28 - 10,34 ) approx 1439.822 ( 3.571 - 2.941 ) approx 1439.822 times 0.63 approx 1.432 times 10^-3 , K/W
  1. Resistência da Casca de Chumbo Rrr = 14 pi times 6 ( 10,34 - 10,37 ) approx 175.398 ( 2.941 - 2.703 ) approx 175.398 times 0.238 approx 3.155 times 10^-3 , K/W :
Rconv = 11000 times 4 pi (0,37)^2 approx 11000 times 4 pi times 0.1369 approx 11721.633 approx 5.805 times 10^-4 , K/W
  1. Resistência do Revestimento Externo :
  1. Resistência da Convecção :

Passo 10

Somando as resistências:
Rtotal = 1.432 times 10^-3 + 3.155 times 10^-3 + 5.805 times 10^-4 approx 5.168 times 10^-3 , K/W

Passo 11

Calculando a diferença de temperatura:
De

Passo 12

Finalmente, a temperatura máxima dos rejeitos é a temperatura ambiente mais a diferença calculada:
Tmax = 10 + 45.27 approx 55.27^circ C

Resposta

A temperatura máxima dos rejeitos radioativos é aproximadamente .

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