Um reservatório esférico que armazena rejeitos radioativos que geram calor a uma taxa uniforme de
é composto por uma casca esférica de chumbo com um raio interno
e espessura de
. O interior da casca de chumbo é totalmente preenchido pelos rejeitos. É aplicado um revestimento externamente a casca de chumbo com espessura de 3 cm . Esse reservatório é mergulhado em um meio líquido cuja temperatura é
, que proporciona um coeficiente convectivo de
na superfície externa do conjunto esférico. Determine a temperatura máxima dos rejeitos radioativos, considerando que a condutividade térmica do material é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um reservatório esférico que guarda rejeitos radioativos que produzem calor. A gente vai precisar usar conceitos de condução de calor em esferas, fluxo de calor e transferência por convecção. Vamos resolver passo a passo para encontrar a temperatura máxima dos rejeitos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as camadas do reservatório. Temos três partes principais:
-
Rejeitos Radioativos: Preenchendo o interior até um raio de
(ou ), gerando calor a uma taxa de . A condutividade térmica desse material é . -
Casca de Chumbo: Com espessura de
(ou ) e condutividade térmica . O raio externo dessa casca é . -
Revestimento Externo: Com espessura de
(ou ), levando o raio total para .
O reservatório está imerso em um líquido com temperatura ambiente
e coeficiente de convecção
.
Passo 3
Vamos considerar que o sistema está em regime permanente, ou seja, a temperatura não muda com o tempo. Queremos encontrar a temperatura máxima dos rejeitos, que será no centro do reservatório (
).
Para isso, precisamos calcular o fluxo de calor que sai dos rejeitos através das camadas e chega à superfície externa, onde ocorre a convecção.
Passo 4
Primeiro, calculamos a geração de calor nos rejeitos. A taxa de geração de calor por unidade de volume é
.
O fluxo de calor total gerado (
) dentro do volume dos rejeitos é:
A volume de uma esfera é
.
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a resistência térmica de cada camada. A resistência térmica (
) para condução em esferas é dada por:
onde
é a condutividade térmica,
é o raio interno e
é o raio externo da camada.
Temos duas camadas de condução:
- Casca de Chumbo:
- Revestimento Externo:
Passo 6
Além das resistências das camadas, temos a resistência térmica da convecção na superfície externa:
Passo 7
Agora, somamos todas as resistências térmicas para obter a resistência total (
):
Passo 8
Com a resistência total e o fluxo de calor
calculados, podemos usar a relação:
onde
é a diferença de temperatura entre o centro (onde está
) e a superfície externa.
Então,
Passo 9
Vamos agora calcular cada parte numericamente:
- Fluxo de Calor
:
- Resistência da Casca de Chumbo
:
- Resistência do Revestimento Externo
:
- Resistência da Convecção
:
Passo 10
Somando as resistências:
Passo 11
Calculando a diferença de temperatura:
Passo 12
Finalmente, a temperatura máxima dos rejeitos é a temperatura ambiente mais a diferença calculada:
Resposta
A temperatura máxima dos rejeitos radioativos é aproximadamente
.