Reduzir a equação 2x² + 4y² + z² – 16 = 0 à forma canônica e identificar a superfície.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O nosso desafio é pegar a equação $ 2x^2 + 4y^2 + z^2 - 16 = 0 $ e transformar ela na forma canônica. Isso vai ajudar a identificar que tipo de superfície geométrica estamos lidando aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre fórmulas de superfícies quadráticas e como simplificar equações usando um processo chamado “completar o quadrado” ou simplesmente isolando os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para que fique igualada a um número:
2x^2 + 4y^2 + z^2 = 16
Isso facilita para visualizar a forma canônica que queremos alcançar.

Passo 3

Agora, vamos dividir todos os termos da equação por 16 para que o lado direito seja igual a 1. Isso é uma etapa comum para chegar na forma padrão das superfícies:
2x^216 + 4y^216 + z^216 = 1616
Simplificando as frações:
x^28 + y^24 + z^216 = 1

Passo 4

A equação está quase na forma canônica! Agora, vamos lembrar que a forma canônica para uma elipsoide (uma das superfícies quadráticas) é:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Comparando com a nossa equação:
x^28 + y^24 + z^216 = 1
Podemos ver que $ a^2 = 8 $, $ b^2 = 4 $ e $ c^2 = 16 $.

Passo 5

Vamos reescrever os denominadores como quadrados de números para deixar a forma ainda mais clara:
x^2(2raiz2)^2 + y^22^2 + z^24^2 = 1
Então, $ a = 2\sqrt{2} $, $ b = 2 $ e $ c = 4 $.

Passo 6

Pronto! Agora temos a equação na forma canônica de uma elipsoide:
x^28 + y^24 + z^216 = 1

Resposta

A forma canônica da equação é $ \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{16} = 1 $, e a superfície representada é uma elipsoide.

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