Calcule a solução da equação diferencial y=-5x³y², que atenda à condição inicial y(0) = 10 e assinale a alternativa que traz corretamente o valor da constante “C”.
A) C=5
B) C= -0,3
C) C= -0,1
D) C= -0,2
E) C=0,4
A) C=5
B) C= -0,3
C) C= -0,1
D) C= -0,2
E) C=0,4
Passo 1
Beleza, a gente tem que resolver a equação diferencial $ y’ = -5x^3 y^2 $ com a condição inicial $ y(0) = 10 $. Isso tá ligado ao estudo de equações diferenciais, mais especificamente às equações separáveis. Vamos precisar separar as variáveis $ y $ e $ x $ pra resolver essa parada.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar os termos com $ y $ de um lado e os com $ x $ do outro. A equação original é:
Vamos dividir ambos os lados por $ y^2 $ pra separar as variáveis:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados pra encontrar uma relação entre $ y $ e $ x $. A gente tem:
A integral de $ \frac{1}{y^2} $ em relação a $ y $ é $ -\frac{1}{y} $, e a integral de $ -5x^3 $ em relação a $ x $ é $ -\frac{5}{4}x^4 $. Então:
Passo 4
Vamos arrumar a equação pra isolar $ \frac{1}{y} $. Multiplicando tudo por -1:
Podemos reescrever como:
Onde $ K = -C $. Agora, pra achar $ C $, usamos a condição inicial $ y(0) = 10 $.
Passo 5
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 10 $ na equação:
Como $ 0^4 = 0 $, fica:
Então, $ C = -\frac{1}{10} = -0,1 $.
Resposta
C) C = -0,1