No regime de juros simples, determinado capital investido durante 2,5 meses produziu o montante de R$ 12.000,00. O mesmo capital, investido durante 5 meses, no mesmo regime de juros, produziu o montante de R$ 14.000,00. Nesse caso, é correto afirmar que esse capital é
A) inferior a R$ 9.400,00.
B) superior a R$ 9.400,00 e inferior a R$ 9.800,00.
C) superior a R$ 9.800,00 e inferior a R$ 10.200,00.
D) superior a R$ 10.200,00 e inferior a R$ 10.600,00.
E) superior a R$ 10.600,00.
A) inferior a R$ 9.400,00.
B) superior a R$ 9.400,00 e inferior a R$ 9.800,00.
C) superior a R$ 9.800,00 e inferior a R$ 10.200,00.
D) superior a R$ 10.200,00 e inferior a R$ 10.600,00.
E) superior a R$ 10.600,00.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um capital investido a juros simples por dois períodos diferentes: 2,5 meses e 5 meses. Com 2,5 meses, o montante ficou R
14.000,00. Nosso objetivo é descobrir qual é esse capital inicial. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de juros simples e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a fórmula de juros simples. A fórmula é:
Onde:
- $ M $ é o montante final,
- $ C $ é o capital inicial,
- $ i $ é a taxa de juros por período,
- $ n $ é o número de períodos.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula nos dois casos que o enunciado nos deu.
Para 2,5 meses:
Para 5 meses:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ C $ e $ i $). Vamos resolver esse sistema para descobrir o valor de $ C $.
Vamos chamar a primeira equação de (1) e a segunda de (2):
(1) $ 12.000 = C \times (1 + 2,5i) $
(2) $ 14.000 = C \times (1 + 5i) $
Passo 5
Podemos dividir a equação (2) pela equação (1) para eliminar $ C $:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a equação acima para encontrar $ i $:
Multiplicando cruzado:
Subtraindo 6 de ambos os lados:
Subtraindo $ 17,5i $ de ambos os lados:
Dividindo por 12,5:
Passo 7
Agora que temos a taxa de juros $ i = 8% $, vamos usar qualquer uma das equações originais para encontrar $ C $. Vamos usar a equação (1):
Passo 8
Resolvendo para $ C $:
Resposta
O capital inicial é igual a R
9.800,00 e inferior a R$ 10.200,00.