No regime de juros simples, determinado capital investido durante 2,5 meses produziu o montante de R$ 12.000,00. O mesmo capital, investido durante 5 meses, no mesmo regime de juros, produziu o montante de R$ 14.000,00. Nesse caso, é correto afirmar que esse capital é
A) inferior a R$ 9.400,00.
B) superior a R$ 9.400,00 e inferior a R$ 9.800,00.
C) superior a R$ 9.800,00 e inferior a R$ 10.200,00.
D) superior a R$ 10.200,00 e inferior a R$ 10.600,00.
E) superior a R$ 10.600,00.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um capital investido a juros simples por dois períodos diferentes: 2,5 meses e 5 meses. Com 2,5 meses, o montante ficou R  12.000,00 e com 5 meses, ficou R 14.000,00. Nosso objetivo é descobrir qual é esse capital inicial. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de juros simples e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a fórmula de juros simples. A fórmula é:
M = C times (1 + i times n)
Onde:
  • $ M $ é o montante final,
  • $ C $ é o capital inicial,
  • $ i $ é a taxa de juros por período,
  • $ n $ é o número de períodos.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula nos dois casos que o enunciado nos deu.
Para 2,5 meses:
12.000 = C times (1 + i times 2,5)
Para 5 meses:
14.000 = C times (1 + i times 5)

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ C $ e $ i $). Vamos resolver esse sistema para descobrir o valor de $ C $.
Vamos chamar a primeira equação de (1) e a segunda de (2):
(1) $ 12.000 = C \times (1 + 2,5i) $
(2) $ 14.000 = C \times (1 + 5i) $

Passo 5

Podemos dividir a equação (2) pela equação (1) para eliminar $ C $:
C
Simplificando:
14.00012.000 = C times (1 + 5i)C times (1 + 2,5i)
1412 = 1 + 5i1 + 2,5i

Passo 6

Vamos resolver a equação acima para encontrar $ i $:
Multiplicando cruzado:
i
7 times (1 + 2,5i) = 6 times (1 + 5i)
Subtraindo 6 de ambos os lados:
7 + 17,5i = 6 + 30i
Subtraindo $ 17,5i $ de ambos os lados:
1 + 17,5i = 30i
Dividindo por 12,5:
17,5i ê

Passo 7

Agora que temos a taxa de juros $ i = 8% $, vamos usar qualquer uma das equações originais para encontrar $ C $. Vamos usar a equação (1):
i = 8%
C
12.000 = C times (1 + 2,5 times 0,08)

Passo 8

Resolvendo para $ C $:
C

Resposta

O capital inicial é igual a R  10.000,00, o que está na opção C: superior a Ráçã 9.800,00 e inferior a R$ 10.200,00.

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