Relacione as coordenadas dos sistema polar-cilíndrico com as coordenadas cartesianas, escrevendo as coordenadas cilíndricas
em função das coordenadas cartesianas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para relacionarmos as coordenadas do sistema polar-cilíndrico com as coordenadas cartesianas. Basicamente, queremos expressar as coordenadas cilíndricas
usando as coordenadas cartesianas
. Para isso, vamos precisar entender como cada ponto no espaço pode ser descrito nesses dois sistemas de coordenadas diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada coordenada representa nos sistemas:
- Sistema Cartesiano: Utiliza três coordenadas
que representam as distâncias ao longo dos eixos X, Y e Z, respectivamente. - Sistema Polar-Cilíndrico: Usa
, onde: -
é a distância do ponto à origem projetada no plano XY. -
é o ângulo que a projeção faz com o eixo X positivo. -
é a mesma coordenada Z do sistema cartesiano.
-
Passo 3
Vamos começar relacionando
com
e
. No plano XY,
é a distância do ponto até a origem, que pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
, que é o ângulo formado entre a projeção do ponto no plano XY e o eixo X positivo. Podemos usar a função tangente inversa para isso:
É importante lembrar que o valor de
depende do quadrante em que o ponto está, então às vezes precisaremos ajustar
dependendo dos sinais de
e
.
Passo 5
Por último, observamos que a coordenada
permanece a mesma nos dois sistemas. Isso significa que:
Resposta
As coordenadas cilíndricas
em função das coordenadas cartesianas
são dadas por: