Relacione as coordenadas dos sistema polar-cilíndrico com as coordenadas cartesianas, escrevendo as coordenadas cilíndricas (r, theta, z) em função das coordenadas cartesianas (x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para relacionarmos as coordenadas do sistema polar-cilíndrico com as coordenadas cartesianas. Basicamente, queremos expressar as coordenadas cilíndricas (r, theta, z) usando as coordenadas cartesianas (x, y, z). Para isso, vamos precisar entender como cada ponto no espaço pode ser descrito nesses dois sistemas de coordenadas diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada coordenada representa nos sistemas:
  • Sistema Cartesiano: Utiliza três coordenadas (x, y, z) que representam as distâncias ao longo dos eixos X, Y e Z, respectivamente.
  • Sistema Polar-Cilíndrico: Usa (r, theta, z), onde:
    • r é a distância do ponto à origem projetada no plano XY.
    • theta é o ângulo que a projeção faz com o eixo X positivo.
    • z é a mesma coordenada Z do sistema cartesiano.

Passo 3

Vamos começar relacionando r com x e y. No plano XY, r é a distância do ponto até a origem, que pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
r = raizx^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar theta, que é o ângulo formado entre a projeção do ponto no plano XY e o eixo X positivo. Podemos usar a função tangente inversa para isso:
theta = arctan(yx)
É importante lembrar que o valor de theta depende do quadrante em que o ponto está, então às vezes precisaremos ajustar theta dependendo dos sinais de x e y.

Passo 5

Por último, observamos que a coordenada z permanece a mesma nos dois sistemas. Isso significa que:
z = z

Resposta

As coordenadas cilíndricas (r, theta, z) em função das coordenadas cartesianas (x, y, z) são dadas por:
r = raizx^2 + y^2 theta = arctan(yx) z = z

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