Considere as equações que regem o movimento em um escoamento axi-simétrico:
partial vzpartial z+1r partialpartial r(r vr)=0 partial vzpartial t+vr partial vzpartial r+vz partial vzpartial z=-1rho partial ppartial z+v(1r partialpartial r(r partial vzpartial r)+partial^2 vzpartial z^2) partial vrpartial t+vr partial vrpartial r+vz partial vrpartial z=-1rho partial ppartial r+v(1r partialpartial r(r partial vrpartial r)+partial^2 vrpartial z^2+vrr^2)
Simplifique as equações para casos em regime permanente e sem atrito viscoso.

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem um exercício sobre escoamento axi-simétrico, que é um tipo de fluxo onde as propriedades não mudam ao girar em torno de um eixo. O enunciado nos deu três equações que descrevem esse movimento. A missão é simplificar essas equações considerando que o fluxo está em regime permanente (ou seja, nada muda com o tempo) e sem atrito viscoso (sem resistência interna do fluido). Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo diferencial e conceitos de dinâmica de fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre regime permanente. Isso significa que todas as propriedades do fluxo, como velocidade e pressão, não mudam com o tempo. Matematicamente, isso implica que as derivadas em relação ao tempo ( partialpartial t) são iguais a zero. Então, qualquer termo que tenha partialpartial t vai desaparecer nas nossas equações.

Passo 3

Agora, sobre sem atrito viscoso. O atrito viscoso está relacionado à viscosidade do fluido, que causa resistência ao movimento interno. Nas equações dadas, os termos que representam a viscosidade estão multiplicados por v. Se não tem atrito viscoso, esses termos também vão desaparecer. Ou seja, qualquer parte das equações que tiver v multiplicando derivadas de velocidades será removida.

Passo 4

Vamos aplicar essas simplificações nas equações fornecidas:
  1. Equação da continuidade:
    partial vzpartial z + 1r partialpartial r(r vr) = 0
    Essa equação já está sem termos de tempo ou viscosidade, então permanece a mesma.
  2. Equação na direção z:
    partial vzpartial t + vr partial vzpartial r + vz partial vzpartial z = -1rho partial ppartial z + v(1r partialpartial r(r partial vzpartial r) + partial^2 vzpartial z^2)
    Eliminando os termos de tempo e viscosidade:
    vr partial vzpartial r + vz partial vzpartial z = -1rho partial ppartial z
  3. Equação na direção r:
    partial vrpartial t + vr partial vrpartial r + vz partial vrpartial z = -1rho partial ppartial r + v(1r partialpartial r(r partial vrpartial r) + partial^2 vrpartial z^2 + vrr^2)
    Eliminando os termos de tempo e viscosidade:
    vr partial vrpartial r + vz partial vrpartial z = -1rho partial ppartial r

Resposta

Após simplificar as equações para regime permanente e sem atrito viscoso, temos:
partial vzpartial z + 1r partialpartial r(r vr) = 0 vr partial vzpartial r + vz partial vzpartial z = -1rho partial ppartial z vr partial vrpartial r + vz partial vrpartial z = -1rho partial ppartial r

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