Em um relógio automático, o rotor responsável por fornecer a energia cinética ao resto das engrenagens está anexado a um eixo cilíndrico. Esse eixo está acoplado ao centro de uma primeira engrenagem circular, com raio maior que o do eixo. Se, dada a ação do rotor, o eixo cilíndrico gira com uma certa velocidade angular ω , o que pode ser afirmado a respeito do movimento da primeira engrenagem?
A) Ela terá uma velocidade angular maior que a do eixo.
B) Ela terá uma velocidade angular igual a do eixo.
C) Ela terá uma velocidade angular menor que a do eixo.
D) Ela terá uma velocidade tangencial igual a do eixo.
E) Ela terá um período de rotação diferente do eixo.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos perguntando. Temos um relógio automático onde o rotor, que fornece energia para as engrenagens, está ligado a um eixo cilíndrico. Esse eixo está conectado ao centro de uma primeira engrenagem que tem um raio maior que o do eixo. Quando o rotor faz o eixo girar com uma certa velocidade angular $ \omega $, queremos saber como isso afeta a velocidade angular da primeira engrenagem.
Aqui, estamos trabalhando com movimento rotacional e engrenagens. Precisaremos entender como as velocidades angulares estão relacionadas quando duas engrenagens de raios diferentes estão conectadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular ($ \omega $) é uma medida de quão rápido algo está girando, medida em radianos por segundo. Quando duas engrenagens estão conectadas, a velocidade linear nas bordas delas deve ser a mesma para que elas girem sem deslizar.
A velocidade linear ($ v $) em uma engrenagem é dada por:
omega
onde:
  • $ \omega $ é a velocidade angular,
  • $ r $ é o raio da engrenagem.

Passo 3

Vamos aplicar isso à situação do exercício. Temos duas engrenagens:
  1. Eixo Cilíndrico:
    • Raio: $ r $
    • Velocidade angular: $ \omega $
  2. Primeira Engrenagem:
    • Raio: $ R $ (sendo $ R > r $)
    • Velocidade angular: $ \omega_1 $ (é o que queremos descobrir)
Como as velocidades lineares nas bordas das duas engrenagens devem ser iguais:
r

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ \omega_1 $:
omega1
Como sabemos que $ R > r $, o quociente $ \frac{r}{R} $ será menor que 1.

Passo 5

Isso significa que:
omega1 < omega
Ou seja, a velocidade angular da primeira engrenagem ($ \omega_1 omega1 éí \omega $).

Resposta

Opção C) Ela terá uma velocidade angular menor que a do eixo.

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