X é uma v.a. que representa o número de Reis em um experimento aleatório que consiste na retirada de 3 cartas de um baralho ( 52 cartas). Determine as funções densidade e distribuição de probabilidade de X .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um experimento onde tiramos 3 cartas de um baralho de 52 cartas e queremos saber quantos Reis aparecem nessas 3 cartas. A variável aleatória representa esse número de Reis. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a função de densidade de probabilidade de (ou seja, as probabilidades de ser cada valor possível) e a função de distribuição acumulada de (que mostra a probabilidade de ser até um certo valor). Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação e probabilidade sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os possíveis valores que pode assumir. Como estamos tirando 3 cartas, o número de Reis pode ser 0, 1, 2 ou 3. Então, pode ser 0, 1, 2 ou 3.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses valores. Para isso, vamos usar a fórmula de combinação. A ideia é contar de quantas maneiras podemos tirar P(X = k) = dbinom4k times dbinom483 - kdbinom523 Reis e cartas que não sejam Reis.
A fórmula geral para a probabilidade de tirar exatamente Reis é:
Aqui, representa uma combinação, ou seja, o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto de elementos.

Passo 4

Vamos calcular cada caso:
  1. P(X = 0) = dbinom40 times dbinom483dbinom523 = 1 times 1729622100 approx 0,7824 (nenhum Rei):
P(X = 1) = dbinom41 times dbinom482dbinom523 = 4 times 112822100 approx 0,204
  1. P(X = 2) = dbinom42 times dbinom481dbinom523 = 6 times 4822100 approx 0,013 (um Rei):
P(X = 3) = dbinom43 times dbinom480dbinom523 = 4 times 122100 approx 0,0002
  1. (dois Reis):
  1. (três Reis):

Passo 5

Agora que temos as probabilidades para cada valor de P(X = k) = 0,7824 & se k = 0 0,204 & se k = 1 0,013 & se k = 2 0,0002 & se k = 3 , vamos montar a função de densidade de probabilidade:

Passo 6

Por fim, vamos construir a função de distribuição acumulada de F(X = k) = P(X <= k) . Ela mostra a probabilidade de F(X = 0) = P(X = 0) = 0,7824 ser até um certo valor F(X = 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,7824 + 0,204 = 0,9864 .
F(X = 2) = F(X = 1) + P(X = 2) = 0,9864 + 0,013 = 0,9994
Calculando para cada F(X = 3) = F(X = 2) + P(X = 3) = 0,9994 + 0,0002 = 0,9996 :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Resposta

A função de densidade de probabilidade de P(X = k) = 0,7824 & se k = 0 0,204 & se k = 1 0,013 & se k = 2 0,0002 & se k = 3 é:
F(X = k) = 0,7824 & se k = 0 0,9864 & se k = 1 0,9994 & se k = 2 0,9996 & se k = 3
E a função de distribuição acumulada de é:

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