X é uma v.a. que representa o número de Reis em um experimento aleatório que consiste na retirada de 3 cartas de um baralho ( 52 cartas). Determine as funções densidade e distribuição de probabilidade de X .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um experimento onde tiramos 3 cartas de um baralho de 52 cartas e queremos saber quantos Reis aparecem nessas 3 cartas. A variável aleatória representa esse número de Reis. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a função de densidade de probabilidade de (ou seja, as probabilidades de ser cada valor possível) e a função de distribuição acumulada de (que mostra a probabilidade de ser até um certo valor). Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação e probabilidade sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os possíveis valores que pode assumir. Como estamos tirando 3 cartas, o número de Reis pode ser 0, 1, 2 ou 3. Então, pode ser 0, 1, 2 ou 3.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses valores. Para isso, vamos usar a fórmula de combinação. A ideia é contar de quantas maneiras podemos tirar Reis e cartas que não sejam Reis.
A fórmula geral para a probabilidade de tirar exatamente Reis é:
Aqui, representa uma combinação, ou seja, o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto de elementos.

Passo 4

Vamos calcular cada caso:
  1. (nenhum Rei):
  1. (um Rei):
  1. (dois Reis):
  1. (três Reis):

Passo 5

Agora que temos as probabilidades para cada valor de , vamos montar a função de densidade de probabilidade:

Passo 6

Por fim, vamos construir a função de distribuição acumulada de . Ela mostra a probabilidade de ser até um certo valor .
Calculando para cada :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Resposta

A função de densidade de probabilidade de é:
E a função de distribuição acumulada de é:

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A tabela abaixo mostra a função distribuição de probabilidades da v.a. X. Determine a função densidade de probabilidade de X .
X 0 1 2 3 4
1