X é uma v.a. que representa o número de Reis em um experimento aleatório que consiste na retirada de 3 cartas de um baralho ( 52 cartas). Determine as funções densidade e distribuição de probabilidade de X .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um experimento onde tiramos 3 cartas de um baralho de 52 cartas e queremos saber quantos Reis aparecem nessas 3 cartas. A variável aleatória representa esse número de Reis. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a função de densidade de probabilidade de (ou seja, as probabilidades de ser cada valor possível) e a função de distribuição acumulada de (que mostra a probabilidade de ser até um certo valor). Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação e probabilidade sem reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os possíveis valores que pode assumir. Como estamos tirando 3 cartas, o número de Reis pode ser 0, 1, 2 ou 3. Então, pode ser 0, 1, 2 ou 3.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses valores. Para isso, vamos usar a fórmula de combinação. A ideia é contar de quantas maneiras podemos tirar Reis e cartas que não sejam Reis.
A fórmula geral para a probabilidade de tirar exatamente Reis é:
Aqui, representa uma combinação, ou seja, o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto de elementos.
Passo 4
Vamos calcular cada caso:
(nenhum Rei):
(um Rei):
(dois Reis):
(três Reis):
Passo 5
Agora que temos as probabilidades para cada valor de , vamos montar a função de densidade de probabilidade:
Passo 6
Por fim, vamos construir a função de distribuição acumulada de . Ela mostra a probabilidade de ser até um certo valor .