Uma urna contém 5 bolas azuis e 3 bolas verdes. Duas bolas são extraídas aleatoriamente, sem reposição. A v.a. X é o número de bolas azuis retiradas. Determine as funções densidade de probabilidade e distribuição de probabilidade de X .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma urna que tem 5 bolas azuis e 3 bolas verdes. A gente vai tirar duas bolas dessa urna, uma de cada vez, sem colocar de volta (ou seja, sem reposição). A variável aleatória
representa o número de bolas azuis que a gente pode tirar nessas duas retiradas. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
- Função densidade de probabilidade (ou função de massa de probabilidade): basicamente, quais são as probabilidades de tirar 0, 1 ou 2 bolas azuis.
- Função distribuição de probabilidade: que nos mostra a probabilidade de tirar até um certo número de bolas azuis.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade sem reposição e combinações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas maneiras diferentes a gente pode tirar duas bolas da urna. A urna tem um total de 5 bolas azuis + 3 bolas verdes = 8 bolas.
Quando a gente tira duas bolas sem reposição, a ordem não importa. Então, usamos a combinação para calcular o número total de maneiras de escolher 2 bolas dentre 8:
Então, existem 28 maneiras possíveis de tirar duas bolas da urna.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada possível valor de
(0, 1 ou 2 bolas azuis serem tiradas).
1.
(nenhuma bola azul é tirada)
Isso significa que ambas as bolas tiradas são verdes. Como tem 3 bolas verdes na urna, podemos calcular:
Então, há 3 maneiras de tirar duas bolas verdes. A probabilidade é:
2.
(uma bola azul e uma verde são tiradas)
Aqui, a gente precisa tirar uma azul e uma verde. O número de maneiras de fazer isso é:
Então, há 15 maneiras de tirar uma azul e uma verde. A probabilidade é:
3.
(duas bolas azuis são tiradas)
Isso significa que as duas bolas tiradas são azuis. Calculando:
Há 10 maneiras de tirar duas bolas azuis. A probabilidade é:
Resposta
Função Densidade de Probabilidade de
:
Função Distribuição de Probabilidade de
:
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A tabela abaixo mostra a função distribuição de probabilidades da v.a. X. Determine a função densidade de probabilidade de X .
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
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1 |
A v.a. X é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 4. Sabe-se que a probabilidade
. Determine k .