Uma urna contém 5 bolas azuis e 3 bolas verdes. Duas bolas são extraídas aleatoriamente, sem reposição. A v.a. X é o número de bolas azuis retiradas. Determine as funções densidade de probabilidade e distribuição de probabilidade de X .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma urna que tem 5 bolas azuis e 3 bolas verdes. A gente vai tirar duas bolas dessa urna, uma de cada vez, sem colocar de volta (ou seja, sem reposição). A variável aleatória representa o número de bolas azuis que a gente pode tirar nessas duas retiradas. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
  1. Função densidade de probabilidade (ou função de massa de probabilidade): basicamente, quais são as probabilidades de tirar 0, 1 ou 2 bolas azuis.
  2. Função distribuição de probabilidade: que nos mostra a probabilidade de tirar até um certo número de bolas azuis.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade sem reposição e combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas maneiras diferentes a gente pode tirar duas bolas da urna. A urna tem um total de 5 bolas azuis + 3 bolas verdes = 8 bolas.
Quando a gente tira duas bolas sem reposição, a ordem não importa. Então, usamos a combinação para calcular o número total de maneiras de escolher 2 bolas dentre 8:
Então, existem 28 maneiras possíveis de tirar duas bolas da urna.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada possível valor de (0, 1 ou 2 bolas azuis serem tiradas).

1. (nenhuma bola azul é tirada)

Isso significa que ambas as bolas tiradas são verdes. Como tem 3 bolas verdes na urna, podemos calcular:
Então, há 3 maneiras de tirar duas bolas verdes. A probabilidade é:

2. (uma bola azul e uma verde são tiradas)

Aqui, a gente precisa tirar uma azul e uma verde. O número de maneiras de fazer isso é:
Então, há 15 maneiras de tirar uma azul e uma verde. A probabilidade é:

3. (duas bolas azuis são tiradas)

Isso significa que as duas bolas tiradas são azuis. Calculando:
Há 10 maneiras de tirar duas bolas azuis. A probabilidade é:

Resposta

Função Densidade de Probabilidade de :
Função Distribuição de Probabilidade de :

Exercícios relacionados

X é uma v.a. que representa o número de Reis em um experimento aleatório que consiste na retirada de 3 cartas de um baralho ( 52 cartas). Determine as funções densidade e distribuição de probabilidade de X .
Destaque a importância da função PLANEJAMENTO para as organizações (até 3 linhas)
A tabela abaixo mostra a função distribuição de probabilidades da v.a. X. Determine a função densidade de probabilidade de X .
X 0 1 2 3 4
1
A v.a. X é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 4. Sabe-se que a probabilidade . Determine k .