Uma urna contém 5 bolas azuis e 3 bolas verdes. Duas bolas são extraídas aleatoriamente, sem reposição. A v.a. X é o número de bolas azuis retiradas. Determine as funções densidade de probabilidade e distribuição de probabilidade de X .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma urna que tem 5 bolas azuis e 3 bolas verdes. A gente vai tirar duas bolas dessa urna, uma de cada vez, sem colocar de volta (ou seja, sem reposição). A variável aleatória representa o número de bolas azuis que a gente pode tirar nessas duas retiradas. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
  1. Função densidade de probabilidade (ou função de massa de probabilidade): basicamente, quais são as probabilidades de tirar 0, 1 ou 2 bolas azuis.
  2. Função distribuição de probabilidade: que nos mostra a probabilidade de tirar até um certo número de bolas azuis.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade sem reposição e combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas maneiras diferentes a gente pode tirar duas bolas da urna. A urna tem um total de 5 bolas azuis + 3 bolas verdes = 8 bolas.
Quando a gente tira duas bolas sem reposição, a ordem não importa. Então, usamos a combinação para calcular o número total de maneiras de escolher 2 bolas dentre 8:
C(8,2) = 8!2!(8-2)! = 8 times 72 times 1 = 28
Então, existem 28 maneiras possíveis de tirar duas bolas da urna.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada possível valor de C(3,2) = 3!2!(3-2)! = 3 times 22 times 1 = 3 (0, 1 ou 2 bolas azuis serem tiradas).

1. P(X=0) = C(3,2)C(8,2) = 328 approx 0,1071 ou 10,71% (nenhuma bola azul é tirada)

Isso significa que ambas as bolas tiradas são verdes. Como tem 3 bolas verdes na urna, podemos calcular:
C(5,1) times C(3,1) = 5 times 3 = 15
Então, há 3 maneiras de tirar duas bolas verdes. A probabilidade é:
P(X=1) = 1528 approx 0,5357 ou 53,57%

2. C(5,2) = 5!2!(5-2)! = 5 times 42 times 1 = 10 (uma bola azul e uma verde são tiradas)

Aqui, a gente precisa tirar uma azul e uma verde. O número de maneiras de fazer isso é:
P(X=2) = 1028 approx 0,3571 ou 35,71%
Então, há 15 maneiras de tirar uma azul e uma verde. A probabilidade é:

3. (duas bolas azuis são tiradas)

Isso significa que as duas bolas tiradas são azuis. Calculando:
Há 10 maneiras de tirar duas bolas azuis. A probabilidade é:

Resposta

Função Densidade de Probabilidade de c|c X & P(X) hline 0 & 328 approx 10,71% 1 & 1528 approx 53,57% 2 & 1028 approx 35,71% :
c|c X & P(X <= x) hline 0 & 328 approx 10,71% 1 & 3 + 1528 = 1828 approx 64,29% 2 & 3 + 15 + 1028 = 2828 = 100%
Função Distribuição de Probabilidade de :

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