Resolva pelo método da variação dos parametros as seguintes equações: t^2 y^prime prime-2 y=3 t^2-1, t>0, y1(t)=t^2, y2(t)=t^-1,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial para usando o método da variação dos parâmetros. A gente já tem duas soluções da equação homogênea associada: e . Para resolver isso, vamos precisar entender como o método da variação dos parâmetros funciona, que basicamente nos ajuda a encontrar uma solução particular para a equação não homogênea usando as soluções da homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão. Dividindo tudo por y'' - 2t^2 y = 3t^2 - 1t^2 , temos:
y'' - 2t^2 y = 3 - 1t^2
Isso simplifica para:
Agora, identificamos que a equação é linear e não homogênea, onde o lado direito é a força externa.

Passo 3

O próximo passo é calcular o Wronskiano das soluções W = y1 & y2 y1' & y2' e y1' = 2t e y2' = -t^-2 . O Wronskiano W = t^2 & t^-1 2t & -t^-2 = t^2(-t^-2) - t^-1(2t) = -1 - 2 = -3 é dado por:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da variação dos parâmetros para encontrar as funções u1' = -y2 cdot g(t)W e u2' = y1 cdot g(t)W e u1' = -t^-1 (3 - 1t^2)-3 = t^-1 (3 - 1t^2)3 :
u2' = t^2 (3 - 1t^2)-3 = -t^2 (3 - 1t^2)3
Aqui, . Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar e integrar para encontrar u1' = 33 t^-1 - 13 t^-3 = t^-1 - 13 t^-3 e u1 = integral t^-1 dt - 13 integral t^-3 dt = ln|t| + 16 t^-2 + C .
Para u2' = -3t^23 + 13 t^0 = -t^2 + 13 :
u2 = integral (-t^2 + 13) dt = -13 t^3 + 13 t + C
Integrando:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante de integração .
Para :
Integrando:
Novamente, ignoramos a constante .

Passo 6

Agora, a solução particular yp(t) = u1(t) y1(t) + u2(t) y2(t) é dada por:
yp(t) = ( ln t + 16 t^2 ) t^2 + ( -13 t^3 + 13 t ) t^-1
Substituindo yp(t) = t^2 ln t + 16 + ( -13 t^2 + 13 ) e yp(t) = t^2 ln t - 13 t^2 + 16 + 13 = t^2 ln t - 13 t^2 + 12 :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução da homogênea com a particular:
y(t) = C1 t^2 + C2 t^-1 + t^2 ln t - 13 t^2 + 12
Onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 t^2 + C2 t^-1 + t^2 ln t - 13 t^2 + 12
Onde e são constantes arbitrárias.

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