Resolva pelo método da variação dos parametros as seguintes equações: ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial para usando o método da variação dos parâmetros. A gente já tem duas soluções da equação homogênea associada: e . Para resolver isso, vamos precisar entender como o método da variação dos parâmetros funciona, que basicamente nos ajuda a encontrar uma solução particular para a equação não homogênea usando as soluções da homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão. Dividindo tudo por , temos:
Isso simplifica para:
Agora, identificamos que a equação é linear e não homogênea, onde o lado direito é a força externa.
Passo 3
O próximo passo é calcular o Wronskiano das soluções e . O Wronskiano é dado por:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da variação dos parâmetros para encontrar as funções u1' = -y2 cdot g(t)W e u2' = y1 cdot g(t)W e u1' = -t^-1 (3 - 1t^2)-3 = t^-1 (3 - 1t^2)3 :
u2' = t^2 (3 - 1t^2)-3 = -t^2 (3 - 1t^2)3
Aqui, . Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar e integrar para encontrar u1' = 33 t^-1 - 13 t^-3 = t^-1 - 13 t^-3 e u1 = integral t^-1 dt - 13 integral t^-3 dt = ln|t| + 16 t^-2 + C .
Para u2' = -3t^23 + 13 t^0 = -t^2 + 13 :
u2 = integral (-t^2 + 13) dt = -13 t^3 + 13 t + C
Integrando:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante de integração .
Para :
Integrando:
Novamente, ignoramos a constante .
Passo 6
Agora, a solução particular yp(t) = u1(t) y1(t) + u2(t) y2(t) é dada por:
yp(t) = ( ln t + 16 t^2 ) t^2 + ( -13 t^3 + 13 t ) t^-1
Substituindo yp(t) = t^2 ln t + 16 + ( -13 t^2 + 13 ) e yp(t) = t^2 ln t - 13 t^2 + 16 + 13 = t^2 ln t - 13 t^2 + 12 :
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução da homogênea com a particular:
y(t) = C1 t^2 + C2 t^-1 + t^2 ln t - 13 t^2 + 12
Onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se forem fornecidas.