Resolva pelo método da variação dos parametros as seguintes equações: ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial para usando o método da variação dos parâmetros. A gente já tem duas soluções da equação homogênea associada: e . Para resolver isso, vamos precisar entender como o método da variação dos parâmetros funciona, que basicamente nos ajuda a encontrar uma solução particular para a equação não homogênea usando as soluções da homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão. Dividindo tudo por , temos:
Isso simplifica para:
Agora, identificamos que a equação é linear e não homogênea, onde o lado direito é a força externa.
Passo 3
O próximo passo é calcular o Wronskiano das soluções e . O Wronskiano é dado por:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da variação dos parâmetros para encontrar as funções e :
Aqui, . Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar e integrar para encontrar e .
Para :
Integrando:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante de integração .
Para :
Integrando:
Novamente, ignoramos a constante .
Passo 6
Agora, a solução particular é dada por:
Substituindo e :
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução da homogênea com a particular:
Onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se forem fornecidas.