Resolva pelo método da variação dos parametros as seguintes equações: ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial para usando o método da variação dos parâmetros. A gente já tem duas soluções da equação homogênea associada: e . Para resolver isso, vamos precisar entender como o método da variação dos parâmetros funciona, que basicamente nos ajuda a encontrar uma solução particular para a equação não homogênea usando as soluções da homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão. Dividindo tudo por , temos:
Isso simplifica para:
Agora, identificamos que a equação é linear e não homogênea, onde o lado direito é a força externa.

Passo 3

O próximo passo é calcular o Wronskiano das soluções e . O Wronskiano é dado por:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da variação dos parâmetros para encontrar as funções e :
Aqui, . Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar e integrar para encontrar e .
Para :
Integrando:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante de integração .
Para :
Integrando:
Novamente, ignoramos a constante .

Passo 6

Agora, a solução particular é dada por:
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução da homogênea com a particular:
Onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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