A tabela abaixo fornece o número de habitantes do Brasil (em milhōes) desde 1872:
Ano 1872 1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1991
Habitantes 9.9 14.3 17.4 30.6 41.2 51.9 70.2 93.1 119.0 146.2
Cap. 6 Ajuste de curvas pelo método dos quadrados mínimos
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a) Obtenha uma estimativa para a população brasileira no ano 2000 . Analise seu resultado.

Passo 1

Então, a gente tem uma tabela que mostra a população do Brasil de 1872 até 1991, e o desafio aqui é usar esses dados para estimar qual seria a população no ano 2000. Vamos usar o método dos quadrados mínimos, que é uma técnica matemática para ajustar uma linha (ou curva) que melhor representa esses dados. Para isso, vamos precisar entender como calcular essa linha de melhor ajuste.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis. Vamos considerar o ano como e a população correspondente como . Para facilitar os cálculos, é bom transformar os anos para valores menores. Podemos fazer isso subtraindo 1872 de cada ano, assim o ano 1872 vira 0, 1890 vira 18, e assim por diante até 1991 que será 119.

Passo 3

Agora, vamos listar os valores ajustados de |c|c| hline x & y hline 0 & 9.9 18 & 14.3 28 & 17.4 48 & 30.6 68 & 41.2 78 & 51.9 88 & 70.2 98 & 93.1 108 & 119.0 119 & 146.2 hline e :

Passo 4

O próximo passo é calcular algumas somas que vamos precisar:
n &= 10 (número de dados) sum x &= 0 + 18 + 28 + 48 + 68 + 78 + 88 + 98 + 108 + 119 = 665 sum y &= 9.9 + 14.3 + 17.4 + 30.6 + 41.2 + 51.9 + 70.2 + 93.1 + 119.0 + 146.2 = 598.3 sum xy &= (0 times 9.9) + (18 times 14.3) + dots + (119 times 146.2) = 52692.9 sum x^2 &= 0^2 + 18^2 + dots + 119^2 = 60089 ú

Passo 5

Com essas somas, podemos calcular a inclinação a = n sum xy - sum x sum yn sum x^2 - (sum x)^2 e o intercepto b = sum y - a sum xn da linha de melhor ajuste usando as fórmulas:
a = 10 times 52692.9 - 665 times 598.310 times 60089 - 665^2 = 526929 - 398089.5600890 - 442225 = 128839.5158665 approx 0.812
b = 598.3 - 0.812 times 66510 = 598.3 - 540.7810 = 57.5210 = 5.752
Vamos substituir os valores:

Passo 6

Agora temos a equação da linha de melhor ajuste:
y = 0.812x + 5.752
Isso significa que, para cada ano que passamos desde 1872, a população aumenta aproximadamente 0.812 milhões, começando de 5.752 milhões em 1872.

Passo 7

Para estimar a população no ano 2000, vamos primeiro ajustar x = 2000 - 1872 = 128 :
y = 0.812 times 128 + 5.752 approx 103.936 + 5.752 = 109.688
Agora, substituímos na equação:

Resposta

A estimativa para a população brasileira no ano 2000, usando o método dos quadrados mínimos, é de aproximadamente 109.7 milhões de habitantes.

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