A tabela abaixo fornece o número de habitantes do Brasil (em milhōes) desde 1872:
Ano
1872
1890
1900
1920
1940
1950
1960
1970
1980
1991
Habitantes
9.9
14.3
17.4
30.6
41.2
51.9
70.2
93.1
119.0
146.2
Cap. 6 Ajuste de curvas pelo método dos quadrados mínimos
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a) Obtenha uma estimativa para a população brasileira no ano 2000 . Analise seu resultado.
Ano | 1872 | 1890 | 1900 | 1920 | 1940 | 1950 | 1960 | 1970 | 1980 | 1991 |
Habitantes | 9.9 | 14.3 | 17.4 | 30.6 | 41.2 | 51.9 | 70.2 | 93.1 | 119.0 | 146.2 |
289
a) Obtenha uma estimativa para a população brasileira no ano 2000 . Analise seu resultado.
Passo 1
Então, a gente tem uma tabela que mostra a população do Brasil de 1872 até 1991, e o desafio aqui é usar esses dados para estimar qual seria a população no ano 2000. Vamos usar o método dos quadrados mínimos, que é uma técnica matemática para ajustar uma linha (ou curva) que melhor representa esses dados. Para isso, vamos precisar entender como calcular essa linha de melhor ajuste.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis. Vamos considerar o ano como
e a população correspondente como
. Para facilitar os cálculos, é bom transformar os anos para valores menores. Podemos fazer isso subtraindo 1872 de cada ano, assim o ano 1872 vira 0, 1890 vira 18, e assim por diante até 1991 que será 119.
Passo 3
Agora, vamos listar os valores ajustados de
e
:
Passo 4
O próximo passo é calcular algumas somas que vamos precisar:
Passo 5
Com essas somas, podemos calcular a inclinação
e o intercepto
da linha de melhor ajuste usando as fórmulas:
Vamos substituir os valores:
Passo 6
Agora temos a equação da linha de melhor ajuste:
Isso significa que, para cada ano que passamos desde 1872, a população aumenta aproximadamente 0.812 milhões, começando de 5.752 milhões em 1872.
Passo 7
Para estimar a população no ano 2000, vamos primeiro ajustar
:
Agora, substituímos na equação:
Resposta
A estimativa para a população brasileira no ano 2000, usando o método dos quadrados mínimos, é de aproximadamente 109.7 milhões de habitantes.
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,
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, encontre as dimensões do lote que englobaria a maior área.