Resolva o Problema da Máquina de Atwood, massas
e
ligadas por uma corda inextensível através de uma polia desprezível, utilizando o formalismo Lagrangiano.
Passo 1
Então, vamos lá! O problema que temos é o da Máquina de Atwood. Basicamente, temos duas massas,
e
, conectadas por uma corda que passa por uma polia que não tem massa (desprezível). Nosso objetivo é resolver esse problema usando o formalismo Lagrangiano, que é uma maneira elegante de encontrar as equações de movimento de sistemas físicos. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco de cinemática, dinâmica e mecânica Lagrangiana.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o formalismo Lagrangiano. Em vez de usar as forças diretamente como na segunda lei de Newton, o Lagrangiano é uma função que depende das coordenadas generalizadas do sistema e suas velocidades. Ele é definido como
, onde
é a energia cinética e
é a energia potencial.
Passo 3
Vamos identificar as coordenadas necessárias. Nesse caso, como as duas massas estão conectadas por uma corda inextensível, se uma massa desce, a outra sobe na mesma quantidade. Então, podemos usar a posição de uma das massas, digamos
, para descrever o sistema.
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia cinética (
) do sistema. A energia cinética de cada massa é dada por
, onde
é a velocidade. Como as duas massas têm velocidades iguais em módulo, temos:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a energia potencial (
) do sistema. A energia potencial de cada massa é dada por
, onde
é a altura. Considerando que
aumenta quando
desce e diminui quando
desce, temos:
Passo 6
Agora, formamos o Lagrangiano
:
Passo 7
Com o Lagrangiano em mãos, usamos as Equações de Euler-Lagrange para encontrar a equação de movimento. A equação de Euler-Lagrange é:
Passo 8
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
A derivada temporal dessa expressão:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 9
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:
Passo 10
Isolando
para encontrar a aceleração:
Resposta
A aceleração das massas no sistema é: