Resolva o Problema da Máquina de Atwood, massas m1 e m2 ligadas por uma corda inextensível através de uma polia desprezível, utilizando o formalismo Lagrangiano.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema que temos é o da Máquina de Atwood. Basicamente, temos duas massas, m1 e m2, conectadas por uma corda que passa por uma polia que não tem massa (desprezível). Nosso objetivo é resolver esse problema usando o formalismo Lagrangiano, que é uma maneira elegante de encontrar as equações de movimento de sistemas físicos. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco de cinemática, dinâmica e mecânica Lagrangiana.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o formalismo Lagrangiano. Em vez de usar as forças diretamente como na segunda lei de Newton, o Lagrangiano é uma função que depende das coordenadas generalizadas do sistema e suas velocidades. Ele é definido como L = T - V, onde T é a energia cinética e V é a energia potencial.

Passo 3

Vamos identificar as coordenadas necessárias. Nesse caso, como as duas massas estão conectadas por uma corda inextensível, se uma massa desce, a outra sobe na mesma quantidade. Então, podemos usar a posição de uma das massas, digamos y, para descrever o sistema.

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética ( T) do sistema. A energia cinética de cada massa é dada por 12 m v^2, onde v é a velocidade. Como as duas massas têm velocidades iguais em módulo, temos:
T = 12 m1 doty^2 + 12 m2 doty^2 = 12 (m1 + m2) doty^2

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a energia potencial ( V) do sistema. A energia potencial de cada massa é dada por m g h, onde h é a altura. Considerando que y aumenta quando m1 desce e diminui quando m2 desce, temos:
V = m1 g y + m2 g (-y) = (m1 - m2) g y

Passo 6

Agora, formamos o Lagrangiano L = T - V:
L = 12 (m1 + m2) doty^2 - (m1 - m2) g y

Passo 7

Com o Lagrangiano em mãos, usamos as Equações de Euler-Lagrange para encontrar a equação de movimento. A equação de Euler-Lagrange é:
ddt ( partial Lpartial doty ) - partial Lpartial y = 0

Passo 8

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeiro, a derivada parcial de L em relação a doty:
partial Lpartial doty = (m1 + m2) doty
A derivada temporal dessa expressão:
ddt ( partial Lpartial doty ) = (m1 + m2) ddoty
Agora, a derivada parcial de L em relação a y:
partial Lpartial y = -(m1 - m2) g

Passo 9

Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
(m1 + m2) ddoty - ( - (m1 - m2) g ) = 0
Simplificando:
(m1 + m2) ddoty + (m1 - m2) g = 0

Passo 10

Isolando ddoty para encontrar a aceleração:
ddoty = -(m1 - m2) gm1 + m2

Resposta

A aceleração das massas no sistema é:
ddoty = (m2 - m1) gm1 + m2

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