Resolver a equação senx + cosx =1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação sin x + cos x = 1. O conteúdo aqui é trigonometria, especificamente envolvendo as funções seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e, provavelmente, um pouco de álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sin x e cos x são funções que estão relacionadas no círculo trigonométrico. Uma identidade útil é que sin^2 x + cos^2 x = 1. Embora não seja exatamente o que temos aqui, ela pode nos ajudar mais adiante.

Passo 3

Agora, vamos tentar manipular a nossa equação sin x + cos x = 1 de uma forma que possamos usar essa identidade. Uma técnica comum é elevar ambos os lados ao quadrado para simplificar.
Então, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(sin x + cos x)^2 = 1^2
Que fica:
sin^2 x + 2 sin x cos x + cos^2 x = 1

Passo 4

Agora, lembrando da identidade que mencionamos antes, sin^2 x + cos^2 x = 1, podemos substituir isso na nossa equação:
1 + 2 sin x cos x = 1
Então, subtraindo 1 de ambos os lados:
2 sin x cos x = 0

Passo 5

Agora, temos 2 sin x cos x = 0. Isso significa que ou sin x = 0 ou cos x = 0, porque se o produto de dois números é zero, pelo menos um deles deve ser zero.

Passo 6

Vamos resolver cada caso separadamente:
Caso 1: sin x = 0
As soluções para sin x = 0 são:
x = npi onde n é inteiro é
Caso 2: cos x = 0
As soluções para cos x = 0 são:
x = pi2 + npi onde n é inteiro é

Passo 7

Agora, precisamos verificar quais dessas soluções satisfazem a equação original sin x + cos x = 1, porque às vezes, ao elevar ao quadrado, podemos introduzir soluções que não são válidas.
Verificando Caso 1: x = npi
Quando x = npi:
  • sin x = 0
  • cos x = (-1)^n
Substituindo na equação original:
0 + (-1)^n = 1
Isso é verdade somente quando (-1)^n = 1, ou seja, quando n é par.
Verificando Caso 2: x = pi2 + npi
Quando x = pi2 + npi:
  • sin x = (-1)^n
  • cos x = 0
Substituindo na equação original:
(-1)^n + 0 = 1
Isso é verdade somente quando (-1)^n = 1, ou seja, quando n é par.

Resposta

As soluções para a equação sin x + cos x = 1 são:
x = 2npi e x = pi2 + 2npi onde n é inteiro é

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