Tia Zélia tem 10 sobrinhos e Mariana é a sobrinha mais velha. Tia Zélia notou que todos os seus sobrinhos têm idades diferentes e que a soma de suas idades é 110 anos. Qual é a menor idade que Mariana pode ter?
(A) 12
(B) 14
© 15
(D) 16
(E) 18​

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos dizendo. A Tia Zélia tem 10 sobrinhos, todos com idades diferentes, e a soma das idades deles é 110 anos. Mariana é a sobrinha mais velha. O conteúdo que vamos usar aqui envolve números inteiros diferentes e somas. Nosso objetivo é descobrir qual é a menor idade que Mariana pode ter com essas condições.

Passo 2

Para encontrar a menor idade de Mariana, precisamos minimizar a soma das idades dos outros 9 sobrinhos. Como todas as idades são diferentes, vamos assumir que os outros sobrinhos têm as menores idades possíveis.

Passo 3

As menores idades possíveis, todas diferentes, seriam 1, 2, 3, …, 9 anos para os 9 sobrinhos. Vamos somar essas idades:
1 + 2 + 3 + dots + 9 = 9 times (9 + 1)2 = 45 anos

Passo 4

Agora, sabemos que a soma total das idades é 110 anos. Se a soma das idades dos 9 mais novos é 45 anos, então a idade de Mariana seria:
110 - 45 = 65 anos
No entanto, essa idade é muito alta e não está entre as opções. Isso significa que as idades dos outros sobrinhos não podem ser tão baixas, precisamos ajustar.

Passo 5

Vamos considerar que Mariana precisa ter a menor idade possível, então aumentamos a soma das idades dos outros sobrinhos, mas mantendo todas as idades diferentes. Suponha que Mariana tenha 16 anos. As idades dos outros 9 sobrinhos seriam: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, e 15 anos. Vamos somar essas idades:
7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 99 anos

Passo 6

Agora, somamos a idade de Mariana:
99 + 16 = 115 anos
Ainda está acima de 110 anos, então precisamos diminuir um pouco mais. Tentemos Mariana com 15 anos:
As idades dos outros sobrinhos poderiam ser: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, e 14 anos.
6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90 anos
Somando a idade de Mariana:
90 + 15 = 105 anos
Ainda abaixo de 110 anos. Portanto, precisamos ajustar novamente.

Passo 7

Vamos tentar com Mariana tendo 16 anos novamente, mas ajustando as idades dos outros sobrinhos para somar exatamente 94 anos (já que 110 - 16 = 94):
Podemos distribuir as idades como: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, e 15 anos.
7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 94 anos
Agora, somando com Mariana:
94 + 16 = 110 anos
Tudo confere!

Resposta

A menor idade que Mariana pode ter é 16 anos. Portanto, a resposta correta é a opção (D) 16.

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