Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências a_n abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência. a_n = n^4 / e^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por . O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge, utilizando um critério específico. Além disso, quando possível, calcular o limite da sequência. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de limites de sequências e entender como comparar o crescimento de funções polinomiais e exponenciais.

Passo 2

Para verificar se a sequência converge ou diverge, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
O que precisamos saber aqui é qual das duas funções, ou , cresce mais rapidamente à medida que aumenta.

Passo 3

Sabemos que funções exponenciais, como , crescem muito mais rápido do que funções polinomiais, como , quando tende ao infinito. Isso significa que, embora o numerador aumente, o denominador aumenta de forma muito mais rápida, fazendo com que a fração inteira diminua à medida que cresce.

Passo 4

Portanto, o limite da sequência será:
Isso indica que a sequência converge, pois existe um limite finito quando tende ao infinito.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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