Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
. O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge, utilizando um critério específico. Além disso, quando possível, calcular o limite da sequência. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de limites de sequências e entender como comparar o crescimento de funções polinomiais e exponenciais.
Passo 2
Para verificar se a sequência converge ou diverge, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
O que precisamos saber aqui é qual das duas funções,
ou
, cresce mais rapidamente à medida que
aumenta.
Passo 3
Sabemos que funções exponenciais, como
, crescem muito mais rápido do que funções polinomiais, como
, quando
tende ao infinito. Isso significa que, embora o numerador
aumente, o denominador
aumenta de forma muito mais rápida, fazendo com que a fração inteira diminua à medida que
cresce.
Passo 4
Portanto, o limite da sequência será:
Isso indica que a sequência
converge, pois existe um limite finito quando
tende ao infinito.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 0.
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