Em uma reunião, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas haviam na reunião?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que em uma reunião, cada pessoa cumprimentou todas as outras, totalizando 45 apertos de mão. O conteúdo que vamos usar aqui é de combinações, especificamente combinando 2 pessoas de um grupo. Para resolver, vamos precisar da fórmula de combinações para calcular quantas maneiras duas pessoas podem se cumprimentar.

Passo 2

Primeiro, entender que cada aperto de mão envolve 2 pessoas únicas. Então, se tivermos $ n $ pessoas na reunião, o número de apertos de mão possíveis é dado pelas combinações de $ n $ pessoas tomadas 2 a 2.

Passo 3

A fórmula para calcular combinações de $ n $ elementos tomados 2 a 2 é:
n
Essa fórmula nos diz quantas maneiras diferentes duas pessoas podem se cumpririmentar em um grupo de $ n $ pessoas.

Passo 4

Sabemos que o total de apertos de mão foi 45. Então, podemos igualar a fórmula a 45:
n(n - 1)2 = 45

Passo 5

Para resolver a equação, primeiro multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
n(n - 1) = 90

Passo 6

Expandindo a expressão:
n^2 - n = 90

Passo 7

Rearranjando a equação para forma quadrática padrão:
n^2 - n - 90 = 0

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara:
n = 1 pm raiz1 + 3602 = 1 pm raiz3612 = 1 pm 192

Passo 9

Calculando as soluções:
n = 1 + 192 = 10 ou n = 1 - 192 = -9
Como não faz sentido ter um número negativo de pessoas, descartamos $ n = -9 $.

Resposta

Então, havia 10 pessoas na reunião.

Exercícios relacionados