Em uma reunião, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas haviam na reunião?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que em uma reunião, cada pessoa cumprimentou todas as outras, totalizando 45 apertos de mão. O conteúdo que vamos usar aqui é de combinações, especificamente combinando 2 pessoas de um grupo. Para resolver, vamos precisar da fórmula de combinações para calcular quantas maneiras duas pessoas podem se cumprimentar.
Passo 2
Primeiro, entender que cada aperto de mão envolve 2 pessoas únicas. Então, se tivermos $ n $ pessoas na reunião, o número de apertos de mão possíveis é dado pelas combinações de $ n $ pessoas tomadas 2 a 2.
Passo 3
A fórmula para calcular combinações de $ n $ elementos tomados 2 a 2 é:
Essa fórmula nos diz quantas maneiras diferentes duas pessoas podem se cumpririmentar em um grupo de $ n $ pessoas.
Passo 4
Sabemos que o total de apertos de mão foi 45. Então, podemos igualar a fórmula a 45:
Passo 5
Para resolver a equação, primeiro multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Passo 6
Expandindo a expressão:
Passo 7
Rearranjando a equação para forma quadrática padrão:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara:
Passo 9
Calculando as soluções:
Como não faz sentido ter um número negativo de pessoas, descartamos $ n = -9 $.
Resposta
Então, havia 10 pessoas na reunião.