Rodrigo estava observando o pisca-pisca do enfeite natalino de sua casa. Ele é composto por lâmpadas nas cores amarelo, azul, verde e vermelho. Rodrigo notou que lâmpadas amarelas acendem a cada 45 segundos, as lâmpadas verdes, a cada 60 segundos, as azuis, a cada 27 segundos, as vermelhas só acendem quando as lâmpadas das outras cores estão acesas ao mesmo tempo. De quantos em quantos minutos, as lâmpadas vermelhas acendem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema do Rodrigo juntos! Aqui, estamos lidando com tempos de acendimento de diferentes lâmpadas: amarelas a cada 45 segundos, verdes a cada 60 segundos e azuis a cada 27 segundos. Queremos descobrir de quantos em quantos minutos as lâmpadas vermelhas, que só acendem quando todas as outras estão acesas ao mesmo tempo, vão piscar. Para isso, vamos usar o conceito de Mínimo Múltiplo Comum (MMC).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o MMC. O MMC de um conjunto de números é o menor número que é múltiplo de todos eles. No nosso caso, queremos encontrar o MMC de 45, 60 e 27 segundos para saber quando todas as lâmpadas (amarela, verde e azul) vão acender juntas.

Passo 3

Vamos fatorar cada número em seus fatores primos:
  • 45 segundos:
    45 = 3 times 3 times 5 = 3^2 times 5^1
  • 60 segundos:
    60 = 2 times 2 times 3 times 5 = 2^2 times 3^1 times 5^1
  • 27 segundos:
    27 = 3 times 3 times 3 = 3^3

Passo 4

Agora, para encontrar o MMC, pegamos o maior expoente de cada fator primo presente nas fatorações:
  • 2: O maior expoente é 2^2 (vem do 60)
  • 3: O maior expoente é 3^3 (vem do 27)
  • 5: O maior expoente é 5^1 (vem do 45 e 60)
Então, o MMC será:
MMC = 2^2 times 3^3 times 5^1 = 4 times 27 times 5 = 540

Passo 5

O MMC é 540 segundos. Como queremos a resposta em minutos, vamos converter:
540 segundos div 60 = 9 minutos

Resposta

As lâmpadas vermelhas acendem a cada 9 minutos.

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