Durante uma partida de futebol, o jogador 1 faz um lançamento para o jogador 2 com um ângulo de 48º. Qual a distância que a bola deverá percorrer até chegar ao jogador 2? Considere: sen 48° = 0,74; cos 48° = 0,66; tan 48° = 1,11.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre um jogador de futebol que faz um lançamento para o colega com um ângulo de 48º. A gente precisa descobrir qual a distância que a bola vai percorrer até chegar no jogador 2. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria, que é a parte da matemática que estuda os ângulos e os lados dos triângulos. Vamos precisar das funções seno, cosseno e tangente para calcular os componentes do lançamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada função trigonométrica representa nesse contexto:
- Seno (sen): Relação entre o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa.
- Cosseno (cos): Relação entre o lado adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
- Tangente (tan): Relação entre o lado oposto ao ângulo e o lado adjacente.
No lançamento da bola, o ângulo de 48º nos ajuda a decompor o movimento em duas direções: horizontal e vertical.
Passo 3
Vamos supor que conhecemos a velocidade inicial com que a bola foi lançada. Como não foi fornecida, vamos chamar essa velocidade de $ v $. Para encontrar a distância horizontal que a bola vai percorrer, precisamos encontrar a componente horizontal da velocidade, que é dada por:
Aqui, $ \theta = 48º $ e $ \cos(48º) = 0,66 $ (como dado no enunciado).
Passo 4
Além da componente horizontal, precisamos considerar o tempo que a bola estará no ar para calcular a distância total percorrida. Supondo que a bola é lançada e pega no mesmo nível (sem diferença de altura), o tempo de voo $ t $ pode ser calculado usando a componente vertical da velocidade:
E como a bola sobe e desce, o tempo total de voo é:
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s² $).
Passo 5
Com o tempo de voo $ t $ e a componente horizontal da velocidade $ v_x $, podemos calcular a distância horizontal $ d $:
Simplificando a expressão:
Usando a identidade trigonométrica $ \sin(2\theta) = 2 \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) $:
Passo 6
Mas, sem o valor da velocidade inicial $ v $, não conseguimos calcular um número exato para a distância. Então, para finalizar, vamos assumir que a velocidade inicial é, por exemplo, $ v = 20 , m/s $. Substituindo os valores:
Sabendo que $ \sin(96º) \approx 0,9945 $:
Resposta
A distância que a bola deverá percorrer até chegar no jogador 2 é aproximadamente 40,6 metros.