Sabe-se que a produção de energia elétrica em usinas de certa região pode ser modelada por uma distribuição normal de média 500 e desvio padrão 100 (em megawatts).
Qual é a proporção de usinas com produção superior a 600 megawatts?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma situação onde a produção de energia elétrica em usinas de uma certa região segue uma distribuição normal com média de 500 megawatts e desvio padrão de 100 megawatts. O que a gente quer descobrir é qual a proporção de usinas que produzem mais de 600 megawatts. Vamos usar a distribuição normal para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma distribuição normal. É uma curva em forma de sino que descreve como os valores estão distribuídos em torno da média. A média aqui é 500 megawatts, e o desvio padrão, que mede a dispersão, é 100 megawatts.

Passo 3

Agora, para achar a proporção de usinas que produzem mais de 600 megawatts, vamos calcular o escore z. Esse escore nos diz quantos desvios padrão o valor de 600 está acima da média. A fórmula do z é:
z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que queremos (600 megawatts)
  • $ \mu $ é a média (500 megawatts)
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (100 megawatts)

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
z = 600 - 500100 = 100100 = 1
Então, o escore z é 1.

Passo 5

Com o escore z calculado, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão (ou tabela z) para encontrar a probabilidade correspondente a esse z. A tabela nos dá a área à esquerda do z na curva normal.
Para $ z = 1 $, a tabela mostra que a área à esquerda é aproximadamente 0,8413. Isso significa que 84,13% das usinas produzem até 600 megawatts.

Passo 6

Mas a gente quer saber a proporção que produz mais de 600 megawatts. Então, subtraímos esse valor de 1 (ou 100%) para encontrar a área à direita do z.
P(X > 600) = 1 - 0,8413 = 0,1587

Resposta

A proporção de usinas com produção superior a 600 megawatts é de aproximadamente 15,87%.

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