O tempo de falha de um componente de uma TV é uma variável aleatória T com distribuição exponencial. Determinar a probabilidade deste componente funcionar mais 1200 horas, sem falha, supondo que já foi utilizado durante as primeiras 1.200 horas e que P(T>600)=0,45.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o tempo que um componente de uma TV dura antes de falhar. Esse tempo é representado por uma variável aleatória $ T $ que segue uma distribuição exponencial. A gente precisa descobrir a probabilidade desse componente continuar funcionando por mais 1200 horas, sabendo que ele já funcionou pelas primeiras 1200 horas. Além disso, a gente sabe que $ P(T > 600) = 0,45 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição exponencial e a propriedade sem memória dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição exponencial. Ela é muito usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente. Uma característica importante dela é a propriedade sem memória, que diz que a probabilidade do evento ocorrer nos próximos $ t $ minutos não depende de quanto tempo já passou sem o evento acontecer.
A função de sobrevivência da distribuição exponencial é dada por:
t
onde $ \lambda $ é a taxa de falha do componente.

Passo 3

A gente sabe que $ P(T > 600) = 0,45 $. Vamos usar essa informação para encontrar o valor de $ \lambda $. Substituindo na fórmula da função de sobrevivência:
P(T > 600) = 0,45
Para resolver para $ \lambda $, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
lambda
Então:
0,45 = e^-lambda times 600

Passo 4

Vamos calcular o valor de $ \lambda $:
lambda

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de o componente funcionar mais 1200 horas, dado que já funcionou 1200 horas. Pela propriedade sem memória da distribuição exponencial:
P(T > s + t ,|, T > s) = P(T > t)
No nosso caso, $ s = 1200 $ horas e $ t = 1200 $ horas. Então:
s = 1200

Passo 6

Vamos calcular $ P(T > 1200) $ usando a função de sobrevivência:
P(T > 1200)

Resposta

A probabilidade do componente continuar funcionando por mais 1200 horas, dado que já funcionou por 1200 horas, é aproximadamente 0,203 ou 20,3%.

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