Sabe-se que a produção de energia elétrica em usinas de certa região pode ser modelada por uma distribuição normal de média 500 e desvio padrão 100 (em megawatts).
Qual é a probabilidade de que uma usina, escolhida ao acaso, apresente produção inferior a 350 megawatts sabendo-se que sua produção é inferior a 500 megawatts?

Passo 1

Vamos resumir o problema: estamos falando da produção de energia elétrica que segue uma distribuição normal com média de 500 megawatts e desvio padrão de 100 megawatts. Queremos descobrir a probabilidade de uma usina escolhida aleatoriamente produzir menos de 350 megawatts, sabendo que sua produção já é inferior a 500 megawatts. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a probabilidade que queremos calcular é uma probabilidade condicional, ou seja:
P(X < 350 mid X < 500)
Isso significa a chance de que $ X $ seja menor que 350, dado que já sabemos que $ X $ é menor que 500.

Passo 3

A probabilidade condicional pode ser expressa pela fórmula:
P(X < 350 mid X < 500) = P(X < 350 cap X < 500)P(X < 500)
Como $ X < 350 $ já é um caso onde $ X < 500 $, podemos simplificar para:
X < 350

Passo 4

Agora, precisamos calcular $ P(X < 350) $ e $ P(X < 500) $ usando a distribuição normal. Para isso, primeiro transformamos esses valores em escores z usando a fórmula:
P(X < 350)
Onde $ \mu = 500 $ e $ \sigma = 100 $.
Para $ x = 350 $:
P(X < 500)
Para $ x = 500 $:
z = x - musigma

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos:
P(Z < -1,5) approx 0,0668
P(Z < 0) = 0,5

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula da probabilidade condicional:
P(X < 350 mid X < 500) = 0,06680,5 = 0,1336

Resposta

A probabilidade é de aproximadamente 13,36%.

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