Sabe-se que a produção de energia elétrica em usinas de certa região pode ser modelada por uma distribuição normal de média 500 e desvio padrão 100 (em megawatts).
Qual é a probabilidade de que uma usina, escolhida ao acaso, apresente produção inferior a 350 megawatts sabendo-se que sua produção é inferior a 500 megawatts?
Qual é a probabilidade de que uma usina, escolhida ao acaso, apresente produção inferior a 350 megawatts sabendo-se que sua produção é inferior a 500 megawatts?
Passo 1
Vamos resumir o problema: estamos falando da produção de energia elétrica que segue uma distribuição normal com média de 500 megawatts e desvio padrão de 100 megawatts. Queremos descobrir a probabilidade de uma usina escolhida aleatoriamente produzir menos de 350 megawatts, sabendo que sua produção já é inferior a 500 megawatts. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a probabilidade que queremos calcular é uma probabilidade condicional, ou seja:
Isso significa a chance de que $ X $ seja menor que 350, dado que já sabemos que $ X $ é menor que 500.
Passo 3
A probabilidade condicional pode ser expressa pela fórmula:
Como $ X < 350 $ já é um caso onde $ X < 500 $, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, precisamos calcular $ P(X < 350) $ e $ P(X < 500) $ usando a distribuição normal. Para isso, primeiro transformamos esses valores em escores z usando a fórmula:
Onde $ \mu = 500 $ e $ \sigma = 100 $.
Para $ x = 350 $:
Para $ x = 500 $:
Passo 5
Consultando a tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula da probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade é de aproximadamente 13,36%.