Sabe-se que as raízes da equação:
para
e
arredondadas para 11 dígitos decimais significativos, são:
Utilizando uma APF com
e
Calcule as raízes da equação utilizando a fórmula tradicional de Báskara. Critique e explique os resultados obtidos.
Utilizando uma APF com
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação quadrática da forma $ ax^{2} + bx + c = 0 $, com os coeficientes $ a = 1 $, $ b = -10^{5} $ e $ c = 1 $. As raízes dessa equação são dadas como $ x_{1} = 99999.999990 $ e $ x_{2} = 0.000010000000001 $.
O conteúdo que vamos usar para resolver esse exercício é a fórmula de Bhaskara, que é uma técnica para encontrar as raízes de uma equação quadrática. Além disso, vamos considerar uma Arithmetical Floating Point (APF) com base $ \beta = 10 $, precisão $ t = 8 $, e expoentes mínimos e máximos de $ e_{\min} = -50 $ e $ e_{\max} = 50 $. Isso significa que nossos cálculos serão feitos com essas limitações de precisão e faixa de valores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de Bhaskara, que nos dá as raízes de uma equação quadrática:
Aqui, $ b^{2} - 4ac $ é o discriminante, que nos indica a natureza das raízes.
Passo 3
Vamos calcular o discriminante $ \Delta $:
Então, o discriminante é $ \Delta = 9999999996 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a raiz quadrada do discriminante:
Essa é uma aproximação, mas como estamos trabalhando com precisão de 8 dígitos, vamos usar esse valor.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Bhaskara para encontrar as duas raízes:
Passo 6
Agora, vamos considerar a APF com $ \beta = 10 $, $ t = 8 $, $ e_{\min} = -50 $, e $ e_{\max} = 50 $. Isso significa que cada número será representado com até 8 dígitos significativos e um expoente entre -50 e 50.
Ao calcular as raízes com essa APF, temos que:
- Para $ x_{1} = 99999.99999 $, com 8 dígitos de precisão, fica $ 1.0000000 \times 10^{5} $.
- Para $ x_{2} = 0.00001 $, com 8 dígitos de precisão, fica $ 1.0000000 \times 10^{-5} $.
Passo 7
Crítica e explicação dos resultados:
Usando a fórmula de Bhaskara com a APF definida, conseguimos obter raízes muito próximas às dadas inicialmente:
- $ x_{1} = 1.0000000 \times 10^{5} $ versus $ 99999.999990 $
- $ x_{2} = 1.0000000 \times 10^{-5} $ versus $ 0.000010000000001 $
A pequena diferença entre os valores se deve à limitação da precisão de 8 dígitos da APF. Além disso, é importante notar que, em cálculos numéricos, especialmente com números muito grandes e muito pequenos, a perda de precisão pode ocorrer devido à representação finita dos números na APF. No entanto, neste caso, as aproximações estão bastante próximas, mostrando que a fórmula de Bhaskara funcionou bem dentro das limitações do sistema de ponto flutuante utilizado.
Resposta
As raízes calculadas utilizando a fórmula de Bhaskara com a APF dada são $ x_{1} = 1.0000000 \times 10^{5} $ e $ x_{2} = 1.0000000 \times 10^{-5} $, que estão muito próximas das raízes exatas fornecidas.