Numa sala de aula, tem-se cinco homens e 4 mulheres. São retiradas, aleatoriamente, três pessoas. Faça X a variável aleatória número de rapazes.
a) Determine a distribuição de probabilidade da variável X. Construa uma tabela.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema nos diz que em uma sala de aula há 5 homens e 4 mulheres, totalizando 9 pessoas. Precisamos escolher 3 pessoas de forma aleatória e descobrir a distribuição de probabilidade da variável aleatória , que representa o número de homens escolhidos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações, que nos ajudam a calcular de quantas maneiras podemos escolher grupos específicos de pessoas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender todas as possibilidades para . Como estamos escolhendo 3 pessoas, pode ser 0, 1, 2 ou 3, ou seja:
  • : Nenhum homem foi escolhido.
  • : Um homem foi escolhido.
  • : Dois homens foram escolhidos.
  • : Três homens foram escolhidos.

Passo 3

Agora, precisamos calcular quantas maneiras existem para cada caso de C(n, k) = n!k!(n-k)! . Para isso, usamos a fórmula de combinação:
C(9, 3) = 9!3!(9-3)! = 84
Onde:
  • é o total de itens.
  • é o número de itens a serem escolhidos.
Primeiro, calculamos o total de maneiras de escolher 3 pessoas de 9:

Passo 4

Vamos calcular agora as combina��ões para cada valor de :
  1. Para :
    • Escolher 0 homens de 5:
    • Escolher 3 mulheres de 4:
    • Total de maneiras:
  2. Para :
    • Escolher 1 homem de 5:
    • Escolher 2 mulheres de 4:
    • Total de maneiras:
  3. Para :
    • Escolher 2 homens de 5:
    • Escolher 1 mulher de 4:
    • Total de maneiras:
  4. Para :
    • Escolher 3 homens de 5:
    • Escolher 0 mulheres de 4:
    • Total de maneiras:

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada caso dividindo o número de maneiras de cada P(X=0) = 484 approx 0,0476 pelo total de maneiras (84):
  1. Para P(X=1) = 3084 approx 0,3571 :
    P(X=2) = 4084 approx 0,4762
  2. Para P(X=3) = 1084 approx 0,1190 :
  3. Para :
  4. Para :

Resposta

Número de Rapazes ( ) Probabilidade ( )
0 0,0476
1 0,3571
2 0,4762
3 0,1190

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