Seja f: [-15/2, ∞) \ {-3} → definida por
y = sen(x^2)
a) Podemos definir uma função y = sen(x^2) tal que f: [-15/2) -> para todo f tilde(x) = f(x) e tal que x != -3 seja contínua? Se sim, determine f tilde.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função definida por:
para todo no intervalo , exceto quando . A matéria que estamos trabalhando aqui é análise de funções, mais especificamente sobre continuidade. Nosso objetivo é verificar se podemos ajustar a função para que ela seja contínua em todo o seu domínio, incluindo o ponto . Para isso, vamos precisar calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que a função não está definida em . Olhando para o denominador , vemos que quando , ele se torna zero, o que torna a função indefinida nesse ponto. Para tornar a função contínua, precisamos preencher esse “buraco” definindo de maneira que a função não tenha interrupções.

Passo 3

Para preencher esse buraco, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Calculando esse limite, podemos definir como esse valor, garantindo que a função seja contínua.

Passo 4

Vamos calcular o limite passo a passo. Substituindo por :
Obtemos uma forma indeterminada , então precisamos simplificar a expressão para resolver.

Passo 5

Para resolver a indeterminação, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
Simplificando:
Agora, fatoramos o numerador:
Substituindo de volta:
Agora, podemos cancelar o termo no numerador e denominador, já que .

Passo 6

Agora, calculamos o limite da expressão simplificada quando se aproxima de :
Então, o limite existe e é igual a .

Resposta

Sim, podemos definir uma função contínua em todo o domínio. A função ajustada é:

Exercícios relacionados

1.1) Calcule o limite onde .
<html><head></head><body><div>Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.009ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“8.383ex” height=“3.056ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -904.5 3705.1 1350.6”><title>{1/en}_{n=1}{infinito}</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msubsup”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“7B” d=“M477 -343L471 -349H458Q432 -349 367 -325T273 -263Q258 -245 250 -212L249 -51Q249 -27 249 12Q248 118 244 128Q243 129 243 130Q220 189 121 228Q109 232 107 235T105 250Q105 256 105 257T105 261T107 265T111 268T118 272T128 276T142 283T162 291Q224 324 243 371Q243 372 244 373Q248 384 249 469Q249 475 249 489Q249 528 249 552L250 714Q253 728 256 736T271 761T299 789T347 816T422 843Q440 849 441 849H443Q445 849 447 849T452 850T457 850H471L477 844V830Q477 820 476 817T470 811T459 807T437 801T404 785Q353 760 338 724Q333 710 333 550Q333 526 333 492T334 447Q334 393 327 368T295 318Q257 280 181 255L169 251L184 245Q318 198 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</body></html>
<html><head></head><body><div>Seja <span class=“math-inline “>
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<div>a) A função <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.244ex” height=“2.059ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -705 550 910”><title>cases( (2 - 7x) / (x - 2), se x ≥ 1; 6x - 1, se x < 1 )</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> é contínua em <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.186ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.442ex” height=“1.692ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -666 2405.6 748”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(849.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1905.6,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ? Justifique sua resposta.</div>
</body></html>