Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente tem uma sequência matemática, que é basicamente uma listinha de números organizados numa ordem específica. O que a gente precisa fazer é:
- Escrever os primeiros cinco termos dessa sequência.
- Verificar se essa sequência “converge” ou “diverge”.
- Se ela converge, significa que os termos estão se aproximando de um número específico.
- Se diverge, os termos não se estabilizam e continuam aumentando ou diminuindo sem limite.
- Se convergir, descobrir qual é esse número para o qual ela está se aproximando, que chamamos de “limite”.
Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é a sequência:
Aqui, para cada valor de
começando em 1 e indo até o infinito, o termo da sequência é
.
Vamos calcular os primeiros cinco termos substituindo
por 1, 2, 3, 4 e 5:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Então, os primeiros cinco termos da sequência são aproximadamente: 0,3679; 0,1353; 0,0498; 0,0183; 0,0067.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos entender o que acontece com os termos da sequência quando
tende ao infinito.
A sequência é:
Sabemos que
é a base dos logaritmos naturais e seu valor aproximado é 2,71828. À medida que
aumenta,
cresce muito rapidamente, tornando
cada vez menor.
Então, intuitivamente, à medida que
aumenta, os termos da sequência continuam diminuindo e se aproximando de zero.
Passo 4
Como percebemos que os termos estão diminuindo e se aproximando de zero à medida que
aumenta, podemos concluir que a sequência converge.
Para encontrar o limite, calculamos:
Portanto, o limite da sequência é 0.
Resposta
Os primeiros cinco termos da sequência são aproximadamente: 0,3679; 0,1353; 0,0498; 0,0183; 0,0067. A sequência converge e o seu limite é 0.
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Avalie o limite
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.09ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“3.585ex” height=“1.312ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -540 1584.8 580”><title>α ∈</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D6FC” d=“M34 156Q34 270 120 356T309 442Q379 442 421 402T478 304Q484 275 485 237V208Q534 282 560 374Q564 388 566 390T582 393Q603 393 603 385Q603 376 594 346T558 261T497 161L486 147L487 123Q489 67 495 47T514 26Q528 28 540 37T557 60Q559 67 562 68T577 70Q597 70 597 62Q597 56 591 43Q579 19 556 5T512 -10H505Q438 -10 414 62L411 69L400 61Q390 53 370 41T325 18T267 -2T203 -11Q124 -11 79 39T34 156ZM208 26Q257 26 306 47T379 90L403 112Q401 255 396 290Q382 405 304 405Q235 405 183 332Q156 292 139 224T121 120Q121 71 146 49T208 26Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(917.8,0)”><path data-c=“2208” d=“M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> e <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.439ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“3.418ex” height=“2.034ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -705 1510.8 899”><title>beta in</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D6FD” d=“M29 -194Q23 -188 23 -186Q23 -183 102 134T186 465Q208 533 243 584T309 658Q365 705 429 705H431Q493 705 533 667T573 570Q573 465 469 396L482 383Q533 332 533 252Q533 139 448 65T257 -10Q227 -10 203 -2T165 17T143 40T131 59T126 65L62 -188Q60 -194 42 -194H29ZM353 431Q392 431 427 419L432 422Q436 426 439 429T449 439T461 453T472 471T484 495T493 524T501 560Q503 569 503 593Q503 611 502 616Q487 667 426 667Q384 667 347 643T286 582T247 514T224 455Q219 439 186 308T152 168Q151 163 151 147Q151 99 173 68Q204 26 260 26Q302 26 349 51T425 137Q441 171 449 214T457 279Q457 337 422 372Q380 358 347 358H337Q258 358 258 389Q258 396 261 403Q275 431 353 431Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(843.8,0)”><path data-c=“2208” d=“M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> tais que</div>
<div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -2.148ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“32.068ex” height=“5.627ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1537.5 14174 2487”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“munder”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(214.8,0)”><path data-c=“6C” d=“M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z”></path><path data-c=“69” d=“M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 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352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(572,0)”><path data-c=“2192” d=“M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1572,0)”><path data-c=“221E” d=“M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 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1.1) Calcule o limite
onde
.
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<div>a) Podemos definir uma função <span class="math-inline ">
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<div>a) Podemos definir uma função <span class="math-inline ">
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