Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente tem uma sequência matemática, que é basicamente uma listinha de números organizados numa ordem específica. O que a gente precisa fazer é:
- Escrever os primeiros cinco termos dessa sequência.
- Verificar se essa sequência “converge” ou “diverge”.
- Se ela converge, significa que os termos estão se aproximando de um número específico.
- Se diverge, os termos não se estabilizam e continuam aumentando ou diminuindo sem limite.
- Se convergir, descobrir qual é esse número para o qual ela está se aproximando, que chamamos de “limite”.
Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é a sequência:
Aqui, para cada valor de
começando em 1 e indo até o infinito, o termo da sequência é
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Vamos calcular os primeiros cinco termos substituindo
por 1, 2, 3, 4 e 5:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Então, os primeiros cinco termos da sequência são aproximadamente: 0,3679; 0,1353; 0,0498; 0,0183; 0,0067.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos entender o que acontece com os termos da sequência quando
tende ao infinito.
A sequência é:
Sabemos que
é a base dos logaritmos naturais e seu valor aproximado é 2,71828. À medida que
aumenta,
cresce muito rapidamente, tornando
cada vez menor.
Então, intuitivamente, à medida que
aumenta, os termos da sequência continuam diminuindo e se aproximando de zero.
Passo 4
Como percebemos que os termos estão diminuindo e se aproximando de zero à medida que
aumenta, podemos concluir que a sequência converge.
Para encontrar o limite, calculamos:
Portanto, o limite da sequência é 0.
Resposta
Os primeiros cinco termos da sequência são aproximadamente: 0,3679; 0,1353; 0,0498; 0,0183; 0,0067. A sequência converge e o seu limite é 0.