Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
{1/e^n}_{n=1}^{infinito}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente tem uma sequência matemática, que é basicamente uma listinha de números organizados numa ordem específica. O que a gente precisa fazer é:
  1. Escrever os primeiros cinco termos dessa sequência.
  2. Verificar se essa sequência “converge” ou “diverge”.
    • Se ela converge, significa que os termos estão se aproximando de um número específico.
    • Se diverge, os termos não se estabilizam e continuam aumentando ou diminuindo sem limite.
  3. Se convergir, descobrir qual é esse número para o qual ela está se aproximando, que chamamos de “limite”.
Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é a sequência:
Aqui, para cada valor de começando em 1 e indo até o infinito, o termo da sequência é .
Vamos calcular os primeiros cinco termos substituindo por 1, 2, 3, 4 e 5:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :
Então, os primeiros cinco termos da sequência são aproximadamente: 0,3679; 0,1353; 0,0498; 0,0183; 0,0067.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos entender o que acontece com os termos da sequência quando tende ao infinito.
A sequência é:
Sabemos que é a base dos logaritmos naturais e seu valor aproximado é 2,71828. À medida que aumenta, cresce muito rapidamente, tornando cada vez menor.
Então, intuitivamente, à medida que aumenta, os termos da sequência continuam diminuindo e se aproximando de zero.

Passo 4

Como percebemos que os termos estão diminuindo e se aproximando de zero à medida que aumenta, podemos concluir que a sequência converge.
Para encontrar o limite, calculamos:
Portanto, o limite da sequência é 0.

Resposta

Os primeiros cinco termos da sequência são aproximadamente: 0,3679; 0,1353; 0,0498; 0,0183; 0,0067. A sequência converge e o seu limite é 0.

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