Seja ABC um triângulo tal que A(1, 1), B(3, -1) e C(5, 3). Qual o seu baricentro? Seja D o ponto médio do lado BC do triângulo ABC da questão anterior. Calcule o comprimento da mediana AD.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo um triângulo com vértices nos pontos A(1, 1), B(3, -1) e C(5, 3). O que vamos precisar é calcular o baricentro (ou centroide) do triângulo e depois determinar o comprimento da mediana que vai de A até o ponto médio do lado BC. Para isso, vamos usar fórmulas de média de coordenadas e a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o baricentro do triângulo ABC. O baricentro é o ponto onde as três medianas se encontram e suas coordenadas são a média das coordenadas dos vértices do triângulo. A fórmula para encontrar o baricentro $ G(x, y) $ é:
G(x, y)

Passo 3

Aplicando as coordenadas dos pontos A(1, 1), B(3, -1) e C(5, 3) na fórmula:
xG = 1 + 3 + 53 = 93 = 3
yG = 1 + (-1) + 33 = 33 = 1
Então, o baricentro $ G $ está no ponto (3, 1).

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ponto médio D do lado BC. A fórmula para o ponto médio $ D(x, y) $ entre dois pontos $ B(x_B, y_B) $ e $ C(x_C, y_C) $ é:
D(x, y)

Passo 5

Substituindo as coordenadas de B(3, -1) e C(5, 3):
xD = 3 + 52 = 82 = 4
yD = -1 + 32 = 22 = 1
Portanto, o ponto D é (4, 1).

Passo 6

Agora, vamos calcular o comprimento da mediana AD. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos $ A(x_A, y_A) $ e $ D(x_D, y_D) $:
A(xA, yA)

Passo 7

Substituindo as coordenadas de A(1, 1) e D(4, 1):
AD = raiz(4 - 1)^2 + (1 - 1)^2 = raiz3^2 + 0^2 = raiz9 = 3

Resposta

O baricentro do triângulo ABC é o ponto (3, 1) e o comprimento da mediana AD é 3 unidades.

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