Seja x um número tal que x²-3x+1=0. Qual é o valor de x² + 1/ x 2
(A) 7
(B) 8
© 9
(D) 10
(E) 11
(A) 7
(B) 8
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(D) 10
(E) 11
Passo 1
Vamos lá! A questão nos diz que há um número $ x $ que satisfaz a equação quadrática $ x^2 - 3x + 1 = 0 $. O que precisamos descobrir é o valor da expressão $ x^2 + \frac{1}{x^2} $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações quadráticas e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma relação que envolva $ x $ e $ \frac{1}{x} $. Sabemos que a equação dada é $ x^2 - 3x + 1 = 0 $. Podemos rearranjar essa equação para expressar $ x^2 $ em termos de $ x $:
Passo 3
Agora, vamos considerar a expressão $ x + \frac{1}{x} $. Para facilitar nossos cálculos, vamos encontrar o valor dessa soma. Sabemos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Expandindo o lado esquerdo:
Portanto, a expressão que queremos $ x^2 + \frac{1}{x^2} $ é igual a $ y^2 - 2 $:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de $ y = x + \frac{1}{x} $. Já sabemos que $ x^2 = 3x - 1 $, então:
Multiplicando ambos os lados da equação $ x^2 = 3x - 1 $ por $ \frac{1}{x} $:
Então, substituindo na expressão de $ y $:
Passo 5
Agora que temos $ y = 3 $, voltamos à expressão $ x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2 $:
Resposta
O valor de $ x^2 + \frac{1}{x^2} $ é 7.