Seja x um número tal que x²-3x+1=0. Qual é o valor de x² + 1/ x 2
(A) 7
(B) 8
© 9
(D) 10
(E) 11

Passo 1

Vamos lá! A questão nos diz que há um número $ x $ que satisfaz a equação quadrática $ x^2 - 3x + 1 = 0 $. O que precisamos descobrir é o valor da expressão $ x^2 + \frac{1}{x^2} $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações quadráticas e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma relação que envolva $ x $ e $ \frac{1}{x} $. Sabemos que a equação dada é $ x^2 - 3x + 1 = 0 $. Podemos rearranjar essa equação para expressar $ x^2 $ em termos de $ x $:
x

Passo 3

Agora, vamos considerar a expressão $ x + \frac{1}{x} $. Para facilitar nossos cálculos, vamos encontrar o valor dessa soma. Sabemos que:
x + 1x
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
x + 1x = y
Expandindo o lado esquerdo:
( x + 1x )^2 = y^2
Portanto, a expressão que queremos $ x^2 + \frac{1}{x^2} $ é igual a $ y^2 - 2 $:
x^2 + 2 cdot x cdot 1x + 1x^2 = y^2 Rightarrow x^2 + 2 + 1x^2 = y^2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de $ y = x + \frac{1}{x} $. Já sabemos que $ x^2 = 3x - 1 $, então:
y = x + 1x
Multiplicando ambos os lados da equação $ x^2 = 3x - 1 $ por $ \frac{1}{x} $:
x^2 = 3x - 1
Então, substituindo na expressão de $ y $:
1x = 1x

Passo 5

Agora que temos $ y = 3 $, voltamos à expressão $ x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2 $:
y = 3

Resposta

O valor de $ x^2 + \frac{1}{x^2} $ é 7.

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