Seja uma família de curvas dada pela equação y = C e − x . Determine a equação das trajetórias ortogonais à família dada:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma família de curvas definida por $ y = C e^{-x} $. Nosso objetivo é encontrar a equação das trajetórias que são ortogonais a essa família. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre curvas ortogonais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma família de curvas. Aqui, $ C $ é uma constante que muda, gerando diferentes curvas para valores diferentes de $ C $. Para encontrar trajetórias ortogonais, vamos precisar derivar a equação dada para obter a inclinação das tangentes das curvas originais.

Passo 3

Vamos derivar $ y = C e^{-x} $ em relação a $ x $. A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y = C e^-x
Essa é a inclinação da tangente às curvas da família para um ponto qualquer.

Passo 4

Trajetórias ortogonais têm inclinações de tangentes que são negativas recíprocas. Então, se a inclinação da curva original é $ \frac{dy}{dx} = -C e^{-x} $, a inclinação das trajetórias ortogonais será:
dydx = -C e^-x

Passo 5

No entanto, como $ C $ é uma constante que varia para cada curva da família original, podemos reescrever a equação das trajetórias ortogonais de forma independente de $ C $. Para isso, rearranjamos a equação diferencial:
C
Agora, temos uma equação diferencial simples que podemos integrar para encontrar a equação das trajetórias ortogonais.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso nos dá:
integral dy = integral e^x dx
onde $ K $ é a constante de integração, representando diferentes trajetórias ortogonais.

Resposta

A equação das trajetórias ortogonais à família dada é $ y = e^{x} + K $, onde $ K $ é uma constante.

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