Quando uma partícula se move no espaço, acaba por descrever uma trajetória que pode ser expressa pelo traço de uma curva r(t), e sua velocidade pode ser calculada pelo módulo do vetor r’(t), isto é, da derivada de r(t). Assim, assinale a alternativa que apresenta corretamente a velocidade de uma partícula cuja trajetória é o traço da curva r(t) = (cos(2t), sen(2t), 3) para t = π/2.
a. -2
b. π
c. 3
d. 2 e. 1

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que se move no espaço seguindo uma trajetória descrita pela curva $ \mathbf{r}(t) = (\cos(2t), \sin(2t), 3) $. A pergunta é: qual é a velocidade dessa partícula quando $ t = \frac{\pi}{2} $? Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a velocidade a partir da função posição, que envolve derivadas e cálculo de módulo de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de uma partícula é dada pela derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, $ \mathbf{v}(t) = \mathbf{r}’(t) $. Nesse caso, precisamos derivar cada componente de $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos derivar cada componente de $ \mathbf{r}(t) = (\cos(2t), \sin(2t), 3) $:
  • A derivada de $ \cos(2t) $ em relação a $ t $ é $ -2\sin(2t) $.
  • A derivada de $ \sin(2t) $ em relação a $ t $ é $ 2\cos(2t) $.
  • A derivada de $ 3 $ em relação a $ t $ é $ 0 $, já que é uma constante.
Então, a derivada $ \mathbf{r}’(t) $ fica:
r(t) = (cos(2t), sin(2t), 3)

Passo 4

Agora, para encontrar a velocidade em um instante específico, precisamos calcular o módulo do vetor velocidade $ \mathbf{v}(t) = \mathbf{r}’(t) $. O módulo de um vetor $ (a, b, c) $ é dado por:
v(t) = r'(t)
Aplicando isso ao nosso vetor:
(a, b, c)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
|v(t)| = raiz4(sin^2(2t) + cos^2(2t)) = raiz4 times 1 = raiz4 = 2
Isso porque $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $ para qualquer $ x $.

Resposta

A velocidade da partícula para $ t = \frac{\pi}{2} $ é 2.

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