Seja uma força dada pela seguinte expressão: f(x)=x2+ex. DICA : função já calculada para os pontos de abcissa x, conforme tabela abaixo: [xi] [f(xi)=xi2+exi] [0] [01.0] [0.5] [1.8987213] [1] [3.7182818] [1.5] [6.7316891] [2] [11.389056]. Calcular o trabalho realizado sobre um corpo de massa m, para levar este corpo de uma posição x=0 = 0 metros até outra posição x1= 2 metros. Em seguida assinale a alternativa correta: A) 5.0578768 J B) 6.0578768 J C) 7.0578768 J D) 8.0578768 J E) 9.0578768 J
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por uma força dada pela função $ f(x) = x^2 + e^x $ quando um corpo é movido de $ x = 0 $ metros até $ x = 2 $ metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integral definida, que nos ajuda a encontrar o trabalho realizado por uma força ao longo de um deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa trabalho nesse contexto. O trabalho $ W $ realizado por uma força variável ao mover um objeto de um ponto $ x_0 $ até $ x_1 $ é dado pela integral da força em relação à posição:
No nosso caso, $ x_0 = 0 $ e $ x_1 = 2 $.
Passo 3
Como temos os valores da função $ f(x) $ em alguns pontos específicos da tabela, podemos usar uma aproximação para calcular essa integral. Uma das maneiras mais simples de fazer isso é usando a Regra do Trapézio, que estima a área sob a curva dividindo-a em trapézios.
Passo 4
A Regra do Trapézio para múltiplos intervalos é dada por:
Onde $ \Delta x $ é a largura de cada intervalo. No nosso caso, os pontos são $ x = 0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 $, então $ \Delta x = 0.5 $ metros.
Passo 5
Vamos colocar os valores na fórmula:
Substituindo pelos valores da tabela:
Resposta
A alternativa correta é a E) 9.0578768 J.