PERGUNTA S Dada uma superficie regular S parametrizada por X(u, v) = (x(u, v),y(u,v),z(u,v)), assinale a alternativa que contenha as equações das retas tangentes e do plano tangente à superficie X no ponto A.
OX(a)=A+aX₁, X(B) = A + BX, e x(x,B) = A + (a +B)(XX)
O X(a) = A + α(X^X₂), X(B) = A + B(X₂^ X₁) e x(x,B) = A +aX+BXv
O X(a) = A + αX₁, X(B) = A + BX, e x(x,B) = A + αB(X^X₂)
O X(a)=A+aX₁, X(B) = A + BX, e x(x,B) = A +aX+BX,
○ x(α) = (XX) + αX₁₁ X(B) = (X₁X₁) + BX₁ e X(a,B) = A +aX+BX₁ 4​

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma superfície regular $ S $ parametrizada por $ X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) $. O que a gente precisa fazer aqui é identificar quais das alternativas apresentadas contém as equações das retas tangentes e do plano tangente à superfície $ X $ no ponto $ A $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais, vetores tangentes e como encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar as retas tangentes a uma superfície parametrizada em um ponto $ A = X(u_0, v_0) $, precisamos calcular as derivadas parciais de $ X $ em relação a $ u $ e $ v $ no ponto $ (u_0, v_0) $.
Essas derivadas parciais, $ X_u $ e $ X_v $, nos dão os vetores tangentes à superfície nas direções $ u $ e $ v $, respectivamente.

Passo 3

As retas tangentes podem ser expressas usando a equação da reta no espaço. Se $ A $ é o ponto na superfície e $ X_u $ e $ X_v $ são os vetores tangentes, então as retas tangentes passam por $ A $ e são na direção desses vetores.
Então, temos:
  • Reta tangente na direção $ u $: $ \mathbf{r}(a) = A + a X_u $
  • Reta tangente na direção $ v $: $ \mathbf{r}(b) = A + b X_v $
Onde $ a $ e $ b $ são parâmetros escalares.

Passo 4

Agora, para encontrar o plano tangente à superfície no ponto $ A $, usamos a equação do plano que envolve o ponto $ A $ e os vetores normais ao plano. O vetor normal pode ser encontrado através do produto vetorial dos vetores tangentes $ X_u $ e $ X_v $:
$ \mathbf{n} = X_u \times X_v $
A equação do plano tangente é então:
$ \mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - A) = 0 $
Onde $ \mathbf{r} = (x, y, z) $ é qualquer ponto no plano.

Passo 5

Vamos agora analisar as alternativas fornecidas para ver qual delas corresponde às retas tangentes e ao plano tangente que encontramos.
Analisando cada opção:
  1. Primeira alternativa: As expressões não correspondem exatamente às nossas equações das retas e do plano.
  2. Segunda alternativa: Também não corresponde às equações que derivamos.
  3. Terceira alternativa: As expressões não estão corretas de acordo com nossas equações.
  4. Quarta alternativa: Parece que combina bem com as equações que encontramos.

Resposta

A alternativa correta é:
O X(a)=A+aX₁, X(B) = A + BX, e x(x,B) = A +aX+BX

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